Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 6 mP1 = 35 kN ties 2 mP2 = 15 kN ties 5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w0​ = 12 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?2 m4 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 12 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 75 kN ties 2 m
MA = kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 12 kN/mABpjūvis2 m2 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 12 kN/mABC6 m2 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite lenkimo momentą MB ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 8 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
MB = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH40 kN20 kN10 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 40 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB25 kN15 kN8 m1 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FBC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 27 kNABδ1,5 m2,5 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.

P = 27 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 8 kN/mAB4 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją RB.

L = 4 mw = 8 kN/m
RB = kN
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 5 kNL = 1 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 5 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 5 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 24,17 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 15·5
RB = 145/6 = 24,17 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 24,17 = 25,83 kN

Atsakymas

RB = 24,17 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 294 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = W·x̄ + P·a = 36·4 + 75·2 = 294 kN·m

Atsakymas

MA = 294 kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 24 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24pjūvis2 m2 m

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 24·2 − 12·2·1 = 24 kN·m

Atsakymas

Mx = 24 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: MB = −24 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·8·4
RB = 384/6 = 64 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 64 = 32 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolės apkrova w·a veikia a/2 atstumu nuo B ir lenkia siją virš atramos neigiamai.

MB = −w·a²/2 = −12·2²/2 = −24 kN·m

Atsakymas

MB = −24 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 52,5 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 74,25 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 53,03 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = 2,275 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·1 − 15·2 → Cy = −0,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −0,625 = 25,63 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−0,625/0,2747 = 2,275 kN

Atsakymas

FBC = 2,275 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δB = 12,66 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δP = Pa³/(3EI) = 3,616 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003616 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12,66 mm

Atsakymas

δB = 12,66 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: RB = 12 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Atsakymas

RB = 12 kN
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 3,473 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Atsakymas

Pcr = 3,473 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 17,42 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 0,5·1000 = 500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·500²/(π³·70000))^(1/4) = 17,42 mm

Atsakymas

d = 17,42 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 114,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis