Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m4 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 10 mP1 = 15 kN ties 5 mP2 = 40 kN ties 6 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 80 kN, 30°Q = 55 kNABRA​ = ?4 m5 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 4 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 9 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 10 mP = 80 kN ties 4 m, θ = 30°Q = 55 kN ties 9 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
10 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

10 kN @ 5 m40 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
8 kN/m25 kN20 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 0 m20 kN @ 12 m25 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH30 kN40 kN4 × 3 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 30 kN ↓D: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH25 kN20 kN25 kN35 kN40 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 9 kNABδ1 m5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 9 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 15 kN/mAB5 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją RB.

L = 5 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1,5 m20 × 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 5 md = 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 31,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​5 m1 m4 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 15·5 + 40·6
RB = 315/10 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 31,5 = 23,5 kN

Atsakymas

RB = 31,5 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 75,3 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 80·sin 30° = 40 kN
Ph = 80·cos 30° = 69,28 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·10 = 40·4 + 55·9 → RB = 65,5 kN
Ay = 40 + 55 − 65,5 = 29,5 kN
Ax = Ph = 69,28 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(69,28² + 29,5²) = 75,3 kN

Atsakymas

RA = 75,3 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 1 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 35 kN, R2 = 15 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 35 kN·m, MC = 30, MD = 25, ME = 20, MF = 15, MG = 0

Atsakymas

Žymė B: MB = 35 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 52,33 kN, R2 = 65,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −50, MC = −11,33, MD = −4,667, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = −80 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 24,38 kN (T), BC: 24,38 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 3,125 kN (T), HC: 3,125 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 20 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 63,64 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 49,5 kN (T), HC: 14,14 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 19,94 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·1000²·5000²/(3·6,27 × 10¹¹·6000) = 19,94 mm

Atsakymas

δP = 19,94 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: RB = 28,13 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Atsakymas

RB = 28,13 kN
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 7,311 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3000² = 7311 N = 7,311 kN

Atsakymas

Pcr = 7,311 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 64,45 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Atsakymas

σcr = 64,45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis