Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 5 mP₁ = 25 kN ties 1,5 mP₂ = 20 kN ties 4 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 15 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 25 kN ties 2,5 m

M_A = kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_max = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 15 kN ↓D: 10 kN ↓F: 10 kN ↓F: 20 kN →G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

7.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 3,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 24 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 21 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 105 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 105 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 21,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 20·4

R_B = 117,5/5 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 23,5 = 21,5 kN

Atsakymas

R_A = 21,5 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 142,5 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2,667 + 25·2,5 = 142,5 kN·m

Atsakymas

M_A = 142,5 kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 7,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 8·2,5 − 4·2,5·1,25 = 7,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 7,5 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 19,51 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·3·1,5

R_B = 27/10 = 2,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 2,7 = 15,3 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 15,3/6 = 2,55 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 15,3·2,55 − 6·2,55²/2 = 19,51 kN·m

Atsakymas

M_max = 19,51 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −18,01 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,6247 = −18,01 kN

Atsakymas

F_BC = −18,01 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 57,5 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 17,68 kN (C), DG: 17,68 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 57,85 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 47,64 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02042 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 57,85 mm

Atsakymas

δ_B = 57,85 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 3,838 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,641 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 2,197 mm

Sudėkite

δ_max = 1,641 + 2,197 = 3,838 mm

Atsakymas

δ_max = 3,838 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,303 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/4000² = 2303 N = 2,303 kN

Atsakymas

P_cr = 2,303 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 117,9 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 117,9 mm

Atsakymas

d = 117,9 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 169,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis