Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 70 kNP2​ = 55 kNABCRB​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 2,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 70 kN ties 2 mP2 = 55 kN ties 4 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 55 kN, 40°Q = 60 kNABα = ?5 m2 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 7 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.

L = 8 mP = 55 kN ties 7 m, θ = 40°Q = 60 kN ties 5 m
α = °
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 8 kN/mABpjūvis2 m4 m

Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 2 m
Vx = kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 5 kN/mP = 10 kNABpjūvis4 m1 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 10 kN ties 4 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH40 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

G: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB35 kN15 kN4 m1 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 6 kN/mδL = 5 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 6 kN/mP = 12 kNδL = 4 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 12 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2,5 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 6 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 144 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 70·2 + 55·4
RB = 360/2,5 = 144 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 70 + 55 − 144 = −19 kN

Atsakymas

RB = 144 kN

RA neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: α = 32,58 °

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 55·sin 40° = 35,35 kN
Ph = 55·cos 40° = 42,13 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·8 = 35,35·7 + 60·5 → RB = 68,43 kN
Ay = 35,35 + 60 − 68,43 = 26,92 kN
Ax = Ph = 42,13 kN

Kryptis ties A

α = atan(Ay/Ax) = atan(26,92/42,13) = 32,58°

Atsakymas

α = 32,58°
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = 8 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24pjūvis2 m4 m

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 24 − 8·2 = 8 kN

Atsakymas

Vx = 8 kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 18 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·4 + 5·5·2,5
RB = 102,5/5 = 20,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 20,5 = 14,5 kN
w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​ = 14,5RB​ = 20,5pjūvis4 m1 m

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 14,5·4 − 5·4·2 = 18 kN·m

Atsakymas

Mx = 18 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 26,67 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 26,67 kN (T), FG: 26,67 kN (C), GH: 26,67 kN (C), AF: 33,33 kN (C), HE: 33,33 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 33,33 kN (C), DG: 33,33 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = −4,688 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 − 15·4 → Cy = −6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − −6,25 = 41,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6,25/0,8 = 7,813 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(7,813)·0,6 = −4,688 kN

Atsakymas

FAC = −4,688 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 19,53 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 19,53 mm

Atsakymas

δ = 19,53 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 2,143 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 12000·4000³/(48·1,68 × 10¹³) = 0,9524 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 1,19 mm

Sudėkite

δmax = 0,9524 + 1,19 = 2,143 mm

Atsakymas

δmax = 2,143 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 24,22 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Atsakymas

Pcr = 24,22 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 3,084 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/7,5 = 800

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Atsakymas

σcr = 3,084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis