Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 60 kN ties 3 mM = 20 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 4 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 2 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją R_D.

AC = 3 mAD = 10 mP = 35 kN ties 8 mw = 2 kN/m nuo 3 iki 10 mQ = 35 kN ties 2 m

R_D = kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 8 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 45 kN ties 1 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →

F_BC = kN

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δ_mid tarpatramio viduryje.

P = 20 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 135 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 135 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 26,67 kN

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 60·3 − 20 = 0

R_B = 200/6 = 33,33 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 60 − 33,33 = 26,67 kN

Atsakymas

R_A = 26,67 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_D = 32 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 2·7 = 14 kN ties 3,5 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 35·5 + 14·3,5

R_D = 32 kN

V_C = 49 − 32 = 17 kN

Atsakymas

R_D = 32 kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 16 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Perpjaukite ties x = 8 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 10·8 − 2·8·4 = 16 kN·m

Atsakymas

M_x = 16 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 45 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 5·6·3

R_B = 135/6 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 22,5 = 52,5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 52,5·3 − 45·(3 − 1) − 5·3·1,5 = 45 kN·m

Atsakymas

M_x = 45 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −18,33 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 → C_y = 11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11 = 44 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11/0,6 = −18,33 kN

Atsakymas

F_BC = −18,33 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −25,24 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 + 15·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 21 = −1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0,8321 = −25,24 kN

Atsakymas

F_BC = −25,24 kN (gniuždymas)

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,03288 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,03288 rad

Atsakymas

θ_A = 0,03288 rad

Tai yra 1,884°.

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_mid = 69,33 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·5,95 × 10¹¹) = 69,33 mm

Atsakymas

δ_mid = 69,33 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 45,32 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2800² = 45320 N = 45,32 kN

Atsakymas

P_cr = 45,32 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 71,49 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 71,49 mm

Atsakymas

d = 71,49 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 139,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis