Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w0​ = 20 kN/mP = 75 kNABRB​ = ?4 m6 m

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 20 kN/m ties A iki nulio ties B. 4 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 75 kN ties 4 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 5 kN/mP = 65 kNABCRB​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 2,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 2 m iki laisvojo galo ties 4 m. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 65 kN ties 2 mw = 5 kN/m nuo 2 iki 4 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 12 kN/mABpjūvis1,5 m8,5 m

Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 1,5 m
Vx = kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 5 kN/mP = 40 kNABpjūvis2,5 m2,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 40 kN ties 2,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH20 kN30 kN25 kN30 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓C: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH20 kN10 kN25 kN20 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 25 kN →G: 20 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 30 kNABδ1 m5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 30 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 65 kNAB4 m4 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą MA.

L = 8 mP = 65 kN ties 4 m
MA = kN·m
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 m20 × 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 105 kNL = 2,5 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 105 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 105 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 63,33 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 100·3,333 + 75·4
RB = 63,33 kN
RA = 175 − 63,33 = 111,7 kN

Atsakymas

RB = 63,33 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 64 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 65·2 + 10·3
RB = 160/2,5 = 64 kN
RA = 75 − 64 = 11 kN

Atsakymas

RB = 64 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = 42 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60pjūvis1,5 m8,5 m

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 60 − 12·1,5 = 42 kN

Atsakymas

Vx = 42 kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 65,63 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2,5 + 5·5·2,5
RB = 162,5/5 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32,5 = 32,5 kN
w = 5 kN/mP = 40 kNABRA​ = 32,5RB​ = 32,5pjūvis2,5 m2,5 m

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 32,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 65,63 kN·m

Atsakymas

Mx = 65,63 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 70,71 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 42,43 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 42,92 kN (T), DE: 42,92 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 53,65 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 29,69 kN (T), HC: 36,98 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 16,53 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·1000²·5000²/(3·2,52 × 10¹²·6000) = 16,53 mm

Atsakymas

δP = 16,53 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: MA = 97,5 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

MA = P·L/2 − RB·L = 260 − 162,5 = 97,5 kN·m

Atsakymas

MA = 97,5 kN·m
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 5,895 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5,895 kN

Atsakymas

Pcr = 5,895 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 67,14 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 67,14 mm

Atsakymas

d = 67,14 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 148,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis