Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 30 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 4 mP1 = 30 kN ties 2 mP2 = 60 kN ties 3 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 6 kN/mP = 45 kNABCRB​ = ?3 m4 m1 m2 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 8 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 7 m iki laisvojo galo ties 10 m. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 8 mAC = 10 mP = 45 kN ties 3 mw = 6 kN/m nuo 7 iki 10 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
45 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 1 m10 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 8 kN/mABC6 m1,5 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 7,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB60 kN6 m5 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN
FAC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB55 kN10 kN5 m4 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN ←
FAB = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 20 kN/mδL = 5 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 24 kNABδ3 m2 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δmid tarpatramio viduryje.

P = 24 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 60 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 30 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·2 + 60·3
RB = 240/4 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 60 = 30 kN

Atsakymas

RB = 60 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 36 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8,5 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 18·8,5
RB = 288/8 = 36 kN
RA = 63 − 36 = 27 kN

Atsakymas

RB = 36 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 1 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 39,17 kN, R2 = 15,83 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 39,17 kN·m, MC = 33,33, MD = 27,5, ME = 21,67, MF = 15,83, MG = 0

Atsakymas

Žymė B: MB = 39,17 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 31,64 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·7,5·3,75
RB = 225/6 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 22,5/8 = 2,813 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 22,5²/(2·8) = 31,64 kN·m

Atsakymas

Mmax = 31,64 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 25 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·5 → Cy = 50 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 50 = 10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −50/0,8944 = −55,9 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−55,9)·0,4472 = 25 kN

Atsakymas

FAC = 25 kN (tempimas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −33,54 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB55 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 − 10·2 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 40 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,4472 = −33,54 kN

Atsakymas

FAB = −33,54 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 40,79 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 40,79 mm

Atsakymas

δmax = 40,79 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmid = 36,65 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 24000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1,61 × 10¹²) = 36,65 mm

Atsakymas

δmid = 36,65 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 6,867 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Atsakymas

Pcr = 6,867 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 17,27 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis