Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m8 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 10 mP1 = 55 kN ties 1 mP2 = 50 kN ties 2 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 4 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?3 m4 m3 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 10 mP = 20 kN ties 3 mw = 4 kN/m nuo 3 iki 7 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 4 kN/mABpjūvis2,5 m1,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
25 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 6 m60 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB20 kN8 m1 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB40 kN20 kN8 m5 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN →
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 12 kN/mP = 18 kNABδ4 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 18 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 6 kN/mδL = 2 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą Ireq, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 m25 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 20 kNL = 6 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 20 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 15,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1 m1 m8 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 50·2
RB = 155/10 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 15,5 = 89,5 kN

Atsakymas

RB = 15,5 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 14 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 4 kN/mP = 20 kNABRA​RB​3 m4 m3 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 4·4·5
RB = 140/10 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 14 = 22 kN

Atsakymas

RB = 14 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 7,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8pjūvis2,5 m1,5 m

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 8·2,5 − 4·2,5·1,25 = 7,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 7,5 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 1 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 43 kN, R2 = 42 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 43 kN·m, MC = 26, MD = 9, ME = −8, MF = −25, MG = 0

Atsakymas

Žymė B: MB = 43 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −18,04 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·1 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 2,5 = 17,5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −17,5/0,9701 = −18,04 kN

Atsakymas

FAB = −18,04 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 45 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB40 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·5 + 20·2 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,5547 = −54,08 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−54,08)·0,8321 = 45 kN

Atsakymas

FAC = 45 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 24 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(3EI) = 18000·4000³/(3·3,2 × 10¹³) = 12 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 12 mm

Sudėkite

δ = 12 + 12 = 24 mm

Atsakymas

δ = 24 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 8,996 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Atsakymas

Pcr = 8,996 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 85,35 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 85,35 mm

Atsakymas

d = 85,35 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 281,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis