Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 30 kN ties 3 mM = 40 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 5 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3,5 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją R_D.

AC = 3 mAD = 6 mP = 45 kN ties 3,5 mw = 12 kN/m nuo 3 iki 6 mQ = 30 kN ties 2,5 m

R_D = kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 55 kN ties 2 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓F: 15 kN →H: 35 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 20 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 8,333 kN

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 30·3 − 40 = 0

R_B = 130/6 = 21,67 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 30 − 21,67 = 8,333 kN

Atsakymas

R_A = 8,333 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_D = 25,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 12·3 = 36 kN ties 1,5 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 45·0,5 + 36·1,5

R_D = 25,5 kN

V_C = 81 − 25,5 = 55,5 kN

Atsakymas

R_D = 25,5 kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 3,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 8·0,5 − 4·0,5·0,25 = 3,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 3,5 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 112 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·2 + 3·10·5

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 26 = 59 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 59·2 − 3·2·1 = 112 kN·m

Atsakymas

M_x = 112 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 24 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 36 = 24 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36/0,8321 = −43,27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−43,27)·0,5547 = 24 kN

Atsakymas

F_AC = 24 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 41,25 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 1,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 1,768 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 2,211 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,211 mm

Atsakymas

δ_max = 2,211 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·4000⁴/(384·70000·11,11) = 5,143 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 34,88 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Atsakymas

P_cr = 34,88 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 62,09 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,09 mm

Atsakymas

d = 62,09 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 386,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis