Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1 m2,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 5 mP1 = 15 kN ties 1,5 mP2 = 30 kN ties 2,5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 75 kN, 30°Q = 15 kNABRA​ = ?1 m2 m5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 1 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 8 mP = 75 kN ties 3 m, θ = 30°Q = 15 kN ties 1 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 65 kNP2​ = 40 kNABC6 m2 m1,5 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite lenkimo momentą MB ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 9,5 mP1 = 65 kN ties 6 mP2 = 40 kN ties 9,5 matramos ties x = 0 ir x = 8 m
MB = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 8 kN/mAB1 m2 m1 m

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x0 nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.

L = 4 mw = 8 kN/m nuo 1 iki 3 m
x0 = m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH30 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

H: 30 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB30 kN25 kN8 m7 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 7 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←
FAB = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 5 kN/mδL = 2 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 8 kN/mP = 25 kNδL = 4 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 25 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2,5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 19,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1,5 m1 m2,5 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1,5 + 30·2,5
RB = 97,5/5 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 19,5 = 25,5 kN

Atsakymas

RB = 19,5 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 74,54 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 75·sin 30° = 37,5 kN
Ph = 75·cos 30° = 64,95 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·8 = 37,5·3 + 15·1 → RB = 15,94 kN
Ay = 37,5 + 15 − 15,94 = 36,56 kN
Ax = Ph = 64,95 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(64,95² + 36,56²) = 74,54 kN

Atsakymas

RA = 74,54 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: MB = −60 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣMA = 0: RB·8 = 65·6 + 40·9,5
RB = 770/8 = 96,25 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 96,25 = 8,75 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolę veikia tik P2, kurios petys a. Ji lenkia siją virš atramos į viršų (neigiamas lenkimas).

MB = −P2·a = −40·1,5 = −60 kN·m

Atsakymas

MB = −60 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x0 = 2 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·2·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo RA, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 8/8 = 2 m

Atsakymas

x0 = 2 m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 12,5 kN (C), HE: 37,5 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (C), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −32,75 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB30 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 − 25·4 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 13,75 = 16,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16,25/0,4961 = −32,75 kN

Atsakymas

FAB = −32,75 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 4,117 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 4,117 mm

Atsakymas

δmax = 4,117 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 71,43 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 25000·4000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 39,68 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 31,75 mm

Sudėkite

δmax = 39,68 + 31,75 = 71,43 mm

Atsakymas

δmax = 71,43 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 135,7 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135,7 kN

Atsakymas

Pcr = 135,7 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 17,27 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis