Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1 m2,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 5 mP1 = 55 kN ties 1,5 mP2 = 40 kN ties 2,5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 65 kN, 30°Q = 30 kNABRA​ = ?1 m1,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 1 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 2,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 5 mP = 65 kN ties 1 m, θ = 30°Q = 30 kN ties 2,5 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
M0​ = 10 kN·mAB2 m2 m

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 10 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mM0 = 10 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 2 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
6 kN/m35 kN45 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m45 kN @ 12 m45 kN @ 4 m6 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB15 kN4 m3 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB45 kN20 kN5 m4 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 4 kN/mδL = 3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 1 kN/mABδ4 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 125 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 125 mm
hreq = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2,5 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 36,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1,5 m1 m2,5 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 40·2,5
RB = 182,5/5 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 36,5 = 58,5 kN

Atsakymas

RB = 36,5 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 69,64 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 65·sin 30° = 32,5 kN
Ph = 65·cos 30° = 56,29 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·5 = 32,5·1 + 30·2,5 → RB = 21,5 kN
Ay = 32,5 + 30 − 21,5 = 41 kN
Ax = Ph = 56,29 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(56,29² + 41²) = 69,64 kN

Atsakymas

RA = 69,64 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = −5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/4 = 2,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −2,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik RA.

Mx = RA·a = −2,5·2 = −5 kN·m

Atsakymas

Mx = −5 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 10 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 90,25 kN, R2 = 82,75 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −70, MC = 28,5, MD = 13, ME = −26,5, MF = −90 kN·m, MG = 0

Atsakymas

Žymė F: MF = −90 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −11,86 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,9487 = −11,86 kN

Atsakymas

FBC = −11,86 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 8 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB45 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 − 20·3 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 24 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0,9487 = −25,3 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25,3)·0,3162 = 8 kN

Atsakymas

FAC = 8 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 43,83 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 43,83 mm

Atsakymas

δ = 43,83 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 137,8 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,727 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,727 × 10⁷/125)1/3 = 137,8 mm

Atsakymas

hreq = 137,8 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 17,58 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN

Atsakymas

Pcr = 17,58 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 49,35 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Atsakymas

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis