Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m3 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 8 mP1 = 30 kN ties 1 mP2 = 15 kN ties 5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m4 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 8 mP = 15 kN ties 4 mw = 8 kN/m nuo 1 iki 3 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 10 kN/mABpjūvis1 m5 m

Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1 m
Vx = kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 10 kN/mP = 45 kNABpjūvis1 m5 m2 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 45 kN ties 6 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB30 kN6 m2 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB25 kN30 kN6 m5 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN →
FAB = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 10 kN/mδL = 3 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 12 kNABδ2,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δmid tarpatramio viduryje.

P = 12 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 m30 × 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 65 kNL = 3 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 65 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 13,13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m4 m3 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 15·5
RB = 105/8 = 13,13 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 13,13 = 31,88 kN

Atsakymas

RB = 13,13 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 19,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1 m2 m1 m4 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 8·2·2
RB = 92/8 = 11,5 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 11,5 = 19,5 kN

Atsakymas

RA = 19,5 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = 20 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30pjūvis1 m5 m

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 30 − 10·1 = 20 kN

Atsakymas

Vx = 20 kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 46,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·6 + 10·8·4
RB = 590/8 = 73,75 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 73,75 = 51,25 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,25RB​ = 73,75pjūvis1 m5 m2 m

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 51,25·1 − 10·1·0,5 = 46,25 kN·m

Atsakymas

Mx = 46,25 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −24,04 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 10 = 20 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,8321 = −24,04 kN

Atsakymas

FAB = −24,04 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = 15,71 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 + 30·2 → Cy = 30,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 30,83 = −5,833 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5,833/0,3714 = 15,71 kN

Atsakymas

FAB = 15,71 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 2,643 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 2,643 mm

Atsakymas

δmax = 2,643 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmid = 3,665 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·3,99 × 10¹²) = 3,665 mm

Atsakymas

δmid = 3,665 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 45,32 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2800² = 45320 N = 45,32 kN

Atsakymas

Pcr = 45,32 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 64,12 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 64,12 mm

Atsakymas

d = 64,12 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 131, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis