Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?3 m2,5 m0,5 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 3 m ir sutelktoji jėga P, esanti 5,5 m atstumu nuo sienos. Raskite vertikaliąją reakciją RA sienoje.

L = 6 mP = 25 kN ties 5,5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 3 m
RA = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 75 kN, 60°Q = 50 kNABRA​ = ?0,5 m4,5 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 60° kampu į horizontalę, o 0,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 6 mP = 75 kN ties 5 m, θ = 60°Q = 50 kN ties 0,5 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 12 kN/mABpjūvis8,5 m1,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 8,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8,5 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 10 kN/mP = 60 kNABpjūvis1 m1 m4 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 60 kN ties 2 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH40 kN25 kN25 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH25 kN40 kN25 kN40 kN4 × 3 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN →G: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 20 kN/mP = 3 kNABδ2 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 3 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 6 kN/mP = 24 kNδL = 2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 3 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 1,5 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 37 kN

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = 1,5 m

Vertikalioji pusiausvyra

RA = P + W = 25 + 12 = 37 kN

Atsakymas

RA = 37 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 67,94 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 75·sin 60° = 64,95 kN
Ph = 75·cos 60° = 37,5 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·6 = 64,95·5 + 50·0,5 → RB = 58,29 kN
Ay = 64,95 + 50 − 58,29 = 56,66 kN
Ax = Ph = 37,5 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(37,5² + 56,66²) = 67,94 kN

Atsakymas

RA = 67,94 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 76,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60pjūvis8,5 m1,5 m

Perpjaukite ties x = 8,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 60·8,5 − 12·8,5·4,25 = 76,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 76,5 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 65 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 10·6·3
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 50 = 70 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 70RB​ = 50pjūvis1 m1 m4 m

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 70·1 − 10·1·0,5 = 65 kN·m

Atsakymas

Mx = 65 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 12,37 kN (T), HC: 22,98 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 50,63 kN (T), BC: 50,63 kN (T), CD: 53,12 kN (T), DE: 53,12 kN (T), FG: 76,25 kN (C), GH: 76,25 kN (C), AF: 42,71 kN (C), HE: 88,54 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 42,71 kN (T), HC: 38,54 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 76,56 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(3EI) = 3000·2000³/(3·6,27 × 10¹¹) = 12,76 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 63,8 mm

Sudėkite

δ = 12,76 + 63,8 = 76,56 mm

Atsakymas

δ = 76,56 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 2,723 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·3,99 × 10¹²) = 1,958 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,7649 mm

Sudėkite

δmax = 1,958 + 0,7649 = 2,723 mm

Atsakymas

δmax = 2,723 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 4,205 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Atsakymas

Pcr = 4,205 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 62,66 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Atsakymas

σcr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis