Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3 m1,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 6 mP1 = 60 kN ties 1,5 mP2 = 45 kN ties 4,5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 8 kN/mP = 55 kNABCRA​ = ?1,5 m0,5 m0,5 m1,5 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 2,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 2 m iki laisvojo galo ties 4 m. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 55 kN ties 1,5 mw = 8 kN/m nuo 2 iki 4 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
15 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 4 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 2 kN/mABC6 m2,5 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 8,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 8,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB30 kN5 m3 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB30 kN10 kN4 m3 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN →
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 28 kNABδ4,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 4,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 28 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 15 kN/mP = 24 kNδL = 5 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 24 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 m25 × 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 110 kNL = 3 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 110 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 110 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 48,75 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 45·4,5
RB = 292,5/6 = 48,75 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 48,75 = 56,25 kN

Atsakymas

RB = 48,75 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 18,8 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 55·1,5 + 16·3
RB = 130,5/2,5 = 52,2 kN
RA = 71 − 52,2 = 18,8 kN

Atsakymas

RA = 18,8 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 65 kN, R2 = 85 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 57,5, MC = 100, MD = 127,5, ME = 140 kN·m, MF = 77,5, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = 140 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 6,146 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·8,5 = 17 kN, veikianti taške x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·8,5·4,25
RB = 72,25/6 = 12,04 kN
ΣFy = 0: RA = 17 − 12,04 = 4,958 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 4,958/2 = 2,479 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 4,958²/(2·2) = 6,146 kN·m

Atsakymas

Mmax = 6,146 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −20,12 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·3 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18 = 12 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18/0,8944 = −20,12 kN

Atsakymas

FBC = −20,12 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 13,75 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 + 10·2 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 27,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27,5/0,8944 = −30,75 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−30,75)·0,4472 = 13,75 kN

Atsakymas

FAC = 13,75 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 41,69 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·4500²·1500²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 41,69 mm

Atsakymas

δP = 41,69 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 5,768 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 24000·5000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,953 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 3,815 mm

Sudėkite

δmax = 1,953 + 3,815 = 5,768 mm

Atsakymas

δmax = 5,768 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 24,67 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24,67 kN

Atsakymas

Pcr = 24,67 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 61,81 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61,81 mm

Atsakymas

d = 61,81 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 97,07, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis