Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w0​ = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?4 m1 m

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 6 kN/m ties A iki nulio ties B. 4 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 25 kN ties 4 m
RA = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w0​ = 6 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?10 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 6 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 10 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 10 mw0 = 6 kN/mP = 70 kN ties 10 m
MA = kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 12 kN/mABpjūvis3,5 m2,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 3 kN/mP = 70 kNAB3 m2 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 5 mP = 70 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 5 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH20 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH20 kN10 kN35 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 12 kN/mδL = 2 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 5 kN/mP = 4 kNδL = 6 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 4 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 115 kNL = 5 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 115 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 115 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 15 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1,667 + 25·4
RB = 25 kN
RA = 40 − 25 = 15 kN

Atsakymas

RA = 15 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 800 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = W·x̄ + P·a = 30·3,333 + 70·10 = 800 kN·m

Atsakymas

MA = 800 kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 52,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 36RB​ = 36pjūvis3,5 m2,5 m

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 36·3,5 − 12·3,5·1,75 = 52,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 52,5 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 93 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 70·3 + 3·5·2,5
RB = 247,5/5 = 49,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 49,5 = 35,5 kN

Kur V = 0?

V(3⁻) = RA − w·3 = 26,5 kN
V(3⁺) = 26,5 − 70 = −43,5 kN
Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 35,5·3 − 3·3²/2 = 93 kN·m

Atsakymas

Mmax = 93 kN·m

Tai yra taške x = 3 m nuo A.

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 25 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (C), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 0,4167 kN (T), BC: 0,4167 kN (T), CD: 4,583 kN (T), DE: 4,583 kN (T), FG: 44,17 kN (C), GH: 44,17 kN (C), AF: 44,27 kN (C), HE: 5,729 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10,94 kN (T), HC: 5,729 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 1,042 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,042 mm

Atsakymas

δmax = 1,042 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 3,199 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 4000·6000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,5625 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 2,637 mm

Sudėkite

δmax = 0,5625 + 2,637 = 3,199 mm

Atsakymas

δmax = 3,199 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 126,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126,6 kN

Atsakymas

Pcr = 126,6 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 73,43 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 73,43 mm

Atsakymas

d = 73,43 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 190,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis