Soalan latihan AP Statistics: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 47, 49, 28, 49, 41.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 78.

μ = 70σ = 20x = 78

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 10? Susunan tidak penting.

n = 10k = 3

N =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X − 3. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.25, 0.1Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 65.5 dan 73.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 65.5x₂ = 73.5

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 75% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah75%

x = markah

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

9.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 15 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −1 dan sisihan piawai 1. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.

n = 15d̄ = −1s_d = 199%t(14) = 2.977

had atas = mmHg

10.Selang keyakinanSukar

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.2 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?

p ≈ 0.2E = 0.0199%

n =

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 30 bahagian mempunyai min panjang 83.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 13 mm. Talian 2: sampel 100 bahagian mempunyai min 79.9 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 30x̄₁ = 83.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 100x̄₂ = 79.9 mmσ₂ = 18 mm

z =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 11. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 80%δ = 2σ = 11z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

13.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1402 × 3

χ² =

14.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 1403 × 2α = 0.05

χ² =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.06

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 238/6 = 39.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−15.67)² + 7.333² + 9.333² + (−11.67)² + 9.333² + 1.333² = 611.3

Sisihan piawai

s = √(611.3/5) = 11.06

Jawapan

s = 11.06

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 0.4

Piawaikan

z = (78 − 70)/20 = 0.4

Jawapan

z = 0.4

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 120

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Jawapan

N = 120

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.272

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.65, Var(X) = 2.028, σ_X = 1.424

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.424 = 4.272

Jawapan

σ_Y = 4.272

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.65 − 3 = 1.95.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2824

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05

z₂ = (73.5 − 65)/10 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(0.05) = 0.8023 − 0.5199 = 0.2824

Jawapan

P = 0.2824

6.Taburan normal

Jawapan: x = 110.1 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.75

z daripada jadual

z ≈ 0.67

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.67·15 = 110.1 markah

Jawapan

x = 110.1 markah

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9982

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 402/5 = 80.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1829

Pekali korelasi

r = 405/√(90·1829) = 0.9982

Jawapan

r = 0.9982

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 12.6

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 73/5 = 14.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Garis regresi

b = 80/40 = 2

a = 14.6 − 2·6 = 2.6

ŷ = 2.6 + 2·x

Ramalan

ŷ = 2.6 + 2·5 = 12.6

Jawapan

ŷ = 12.6

9.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −0.2313 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 14, t = 2.977

Margin ralat

E = 2.977·1/√15 = 0.7687

Selang

−1 ± 0.7687 → [−1.769, −0.2313]

Jawapan

had atas = −0.2313 mmHg

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 10618

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.2·0.8/0.01² = 10617

Bundarkan ke atas

n = 10618

Jawapan

n = 10618

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 1.209

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(13²/30 + 18²/100) = √8.873 = 2.979

Statistik ujian

z = (83.5 − 79.9)/2.979 = 1.209

Jawapan

z = 1.209

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 304

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 0.842)·11/2)² = 303.6

Bundarkan ke atas

n = 304

Jawapan

n = 304

13.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 2.917

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

pelajar: 80·28/140 = 16, 80·42/140 = 24, 80·70/140 = 40

kakitangan: 60·28/140 = 12, 60·42/140 = 18, 60·70/140 = 30

Statistik khi kuasa dua

χ² = (14 − 16)²/16 + (21 − 24)²/24 + (45 − 40)²/40 + (14 − 12)²/12 + (21 − 18)²/18 + (25 − 30)²/30

χ² = 2.917

Jawapan

χ² = 2.917

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

14.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 8.542

Kiraan jangkaan

umur 18–30: 32, 8

umur 31–50: 32, 8

umur 51+: 48, 12

Statistik khi kuasa dua

χ² = (36 − 32)²/32 + (4 − 8)²/8 + (26 − 32)²/32 + (14 − 8)²/8 + (50 − 48)²/48 + (10 − 12)²/12

χ² = 8.542

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5.991

8.542 > 5.991

Jawapan

χ² = 8.542

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice