Soalan latihan AP Statistics: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 17, 38, 49, 25, 21, 14.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 106.

μ = 100σ = 10x = 106

z =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 4 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 4

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 6p = 0.1k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.2981. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.2981

z =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 60% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.5.

n = 6x = 5.5

ŷ =

9.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 20 item mempunyai min 18.5 dan sisihan piawai s = 16. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 20x̄ = 18.5s = 1699%t(19) = 2.861

had atas =

10.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 33. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?

σ = 33E = 599%

n =

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 73.2 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73.2s = 12n = 36

t =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 6. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 80%δ = 2σ = 6z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

13.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1602 × 3

χ² =

14.Ujian khi kuasa duaSukar

Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 8 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?

k = 8

df =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.52

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 164/6 = 27.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−10.33)² + 10.67² + 21.67² + (−2.333)² + (−6.333)² + (−13.33)² = 913.3

Sisihan piawai

s = √(913.3/5) = 13.52

Jawapan

s = 13.52

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 0.6

Piawaikan

z = (106 − 100)/10 = 0.6

Jawapan

z = 0.6

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5177

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

Jawapan

P = 0.5177

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.001215

Formula binomial

P(X = 4) = 15·0.1⁴·0.9² = 15·0.0001·0.81 = 0.001215

Jawapan

P = 0.001215

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.53

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.2981 = 0.7019

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7019 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.53

Jawapan

z = 0.53

6.Taburan normal

Jawapan: x = 248.8 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

Jawapan

x = 248.8 g

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9872

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 543/6 = 90.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 473

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3238

Pekali penentuan

r² = 473²/(70·3238) = 0.9872

Jawapan

r² = 0.9872

Kira-kira 98.72% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 15.01

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 112/6 = 18.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Garis regresi

b = −32/17.5 = −1.829

a = 18.67 − (−1.829)·3.5 = 25.07

ŷ = 25.07 − 1.829·x

Ramalan

ŷ = 25.07 + (−1.829)·5.5 = 15.01

Jawapan

ŷ = 15.01

9.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 28.74

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 2.861

Margin ralat

E = 2.861·16/√20 = 10.24

Selang

18.5 ± 10.24 → [8.264, 28.74]

Jawapan

had atas = 28.74

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 290

Selesaikan untuk n

n = (2.576·33/5)² = 289.1

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 290

Jawapan

n = 290

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistik ujian

t = (73.2 − 75)/2 = −0.9

Jawapan

t = −0.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 91

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 0.842)·6/2)² = 90.33

Bundarkan ke atas

n = 91

Jawapan

n = 91

13.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 2.861

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

bandar: 40·48/160 = 12, 40·48/160 = 12, 40·64/160 = 16

luar bandar: 120·48/160 = 36, 120·48/160 = 36, 120·64/160 = 48

Statistik khi kuasa dua

χ² = (15 − 12)²/12 + (8 − 12)²/12 + (17 − 16)²/16 + (33 − 36)²/36 + (40 − 36)²/36 + (47 − 48)²/48

χ² = 2.861

Jawapan

χ² = 2.861

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

14.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: df = 6

Darjah kebebasan

df = 8 − 1 − 1 = 6

Jawapan

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice