Soalan latihan AP Statistics: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian
χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
101520253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 10, 54, 45, 53, 21, 45.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 110.

μ = 100σ = 5x = 110
z =
3.KebarangkalianSederhana
P(sekurang-kurangnya satu enam) = ??1?2?3?4?5P(enam) = 1/6 pada setiap golekan

Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 5
P =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−20.7420.25380.01

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.25 dan €40 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€4: p = 0.25€40: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.0222

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0222. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0222
z =
6.Taburan normalSukar
0.02 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.Regresi linear & korelasiSederhana
xy12122031841351168xy246101520

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 91Σx² = 91Σy² = 1519Σxy = 270
r =
8.Regresi linear & korelasiSukar
xy127227325422521xy24222426ŷ = 25

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 25?

n = 5ŷ = 25
x =
9.Selang keyakinanSederhana
n = 16, s = 9LU = ?x̄ = 50E95%

Satu sampel 16 item mempunyai min 50 dan sisihan piawai s = 9. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 16x̄ = 50s = 995%t(15) = 2.131
had atas =
10.Selang keyakinanSukar
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.599%

Sisihan piawai populasi ialah 37. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 37E = 2.599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.2622.262t = ?df = 9

10 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −3.28 dan sisihan piawai beza ialah 2.8. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.

n = 10d̄ = −3.28sd = 2.8
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 197.6. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 197.6σ = 8n = 10090%
U =
13.Ujian khi kuasa duaSederhana
rendahsederhanatinggiJumlahbandar38102270luar bandar1233954Jumlah504331124

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “bandar, rendah”.

jumlah baris = 70jumlah lajur = 50N = 124
E =
14.Ujian khi kuasa duaSukar
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 6 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.

α = 0.01
χ²crit =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.18

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 228/6 = 38

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−28)² + 16² + 7² + 15² + (−17)² + 7² = 1652

Sisihan piawai

s = √(1652/5) = 18.18

Jawapan

s = 18.18
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (110 − 100)/5 = 2

Jawapan

z = 2
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5981

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

Jawapan

P = 0.5981
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.6 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 2 (p = 0.25), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.74)

Nilai jangkaan

E(G) = 2·0.25 + 38·0.01 − 2·0.74 = −0.6 €

Jawapan

E(G) = −0.6 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 2.01

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0222 = 0.9778

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9778 di dalam jadual dan baca z.

z = 2.01

Jawapan

z = 2.01
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8665

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

Jawapan

P = 0.8665
7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.984

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 270 − 21·91/6 = −48.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1519 − 91²/6 = 138.8

Pekali korelasi

r = −48.5/√(17.5·138.8) = −0.984

Jawapan

r = −0.984
8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.647

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Garis regresi

b = −17/10 = −1.7
a = 24.4 − (−1.7)·3 = 29.5
ŷ = 29.5 − 1.7·x

Selesaikan untuk x

x = (25 − 29.5)/(−1.7) = 2.647

Jawapan

x = 2.647
9.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 54.79

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·9/√16 = 4.795

Selang

50 ± 4.795 → [45.21, 54.79]

Jawapan

had atas = 54.79
10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1454

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·37/2.5)² = 1454

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1454

Jawapan

n = 1454
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.704

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 2.8/√10 = 0.8854

Statistik ujian

t = −3.28/0.8854 = −3.704

Jawapan

t = −3.704

Dengan df = 9, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.262; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 198.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·8/√100 = 1.316

Had selang

U = 197.6 + 1.316 = 198.9

Jawapan

U = 198.9
13.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: E = 28.23

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

E = 70·50/124 = 28.23

Jawapan

E = 28.23
14.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ²crit = 13.28

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Darjah kebebasan

df = 6 − 1 − 1 = 4

Jadual

χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

Jawapan

χ²crit = 13.277

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice