Soalan latihan AP Statistics: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 52, 51, 57, 37.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 80.

μ = 60σ = 20x = 80

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.25

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 5p = 0.2k = 1

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 244.25 dan 257.5 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 244.25x₂ = 257.5

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = markah

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 7.5.

n = 6x = 7.5

ŷ =

9.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 88 j, sisihan piawai diketahui 14 j. Model 2: 60 telefon, min 86 j, sisihan piawai diketahui 19 j. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 88 hσ₁ = 14 hn₂ = 60x̄₂ = 86 hσ₂ = 19 h99%

had atas = h

10.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 35. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 35E = 490%

n =

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

16 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 1.57 dan sisihan piawai beza ialah 3.5. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 1.57s_d = 3.5

t =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 498. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 500μ = 498σ = 20n = 100α = 0.10

1 − β = %

13.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “pelajar, bas”.

jumlah baris = 83jumlah lajur = 55N = 133

E =

14.Ujian khi kuasa duaSukar

Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 6 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?

k = 6

df =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 8.849

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 257/5 = 51.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 8.6² + 0.6² + (−0.4)² + 5.6² + (−14.4)² = 313.2

Sisihan piawai

s = √(313.2/4) = 8.849

Jawapan

s = 8.849

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1

Piawaikan

z = (80 − 60)/20 = 1

Jawapan

z = 1

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 4.16

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.15 + 2·0.35 + 4·0.25 + 6·0.25 = 3.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.15 + 4·0.35 + 16·0.25 + 36·0.25 = 14.4

Varians

Var(X) = 14.4 − 3.2² = 4.16

Jawapan

Var(X) = 4.16

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4096

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 5·0.2¹·0.8⁴ = 5·0.2·0.4096 = 0.4096

Jawapan

P = 0.4096

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8081

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (244.25 − 250)/5 = −1.15

z₂ = (257.5 − 250)/5 = 1.5

Luas antara

P = Φ(1.5) − Φ(−1.15) = 0.9332 − 0.1251 = 0.8081

Jawapan

P = 0.8081

6.Taburan normal

Jawapan: x = 129.4 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 markah

Jawapan

x = 129.4 markah

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9933

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 321/6 = 53.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1972

Pekali korelasi

r = 369/√(70·1972) = 0.9933

Jawapan

r = 0.9933

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 56.09

Min

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 293/6 = 48.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63.5

Garis regresi

b = 63.5/17.5 = 3.629

a = 48.83 − 3.629·5.5 = 28.88

ŷ = 28.88 + 3.629·x

Ramalan

ŷ = 28.88 + 3.629·7.5 = 56.09

Jawapan

ŷ = 56.09

9.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 9.849 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 88 − 86 = 2

Ralat piawai

SE = √(14²/60 + 19²/60) = 3.047

Margin ralat

E = 2.576·3.047 = 7.849

Selang

2 ± 7.849 → [−5.849, 9.849]

Jawapan

had atas = 9.849 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 208

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·35/4)² = 207.2

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 208

Jawapan

n = 208

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.794

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 3.5/√16 = 0.875

Statistik ujian

t = 1.57/0.875 = 1.794

Jawapan

t = 1.794

Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 38.9 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 500 − 1.282·2 = 497.4

z di bawah min sebenar

z = (497.4 − 498)/2 = −0.282

Kuasa

kuasa = P(Z < −0.282) = 38.9%

1 − β = 38.9%

Jawapan

1 − β = 38.9%

13.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: E = 34.32

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

E = 83·55/133 = 34.32

Jawapan

E = 34.32

14.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: df = 4

Darjah kebebasan

df = 6 − 1 − 1 = 4

Jawapan

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice