Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (√(x2 + 7x) − x).

f(x) = √(x2 + 7x) − xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 2

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.TerbitanSukar
xyx = 1

Garis tangen kepada f(x) = 3x2 − 2x − 4 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x2 − 2x − 4x = 1
b =
5.PengoptimumanSederhana
sisi jalan: €25/m€10/myyx

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 600 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €25 semeter; tiga sisi yang lain berharga €10 semeter. Cari panjang x sisi jalan yang meminimumkan kos.

A = 600 m²€25/m€10/m
x = m
6.PengoptimumanSukar
p (€)R(p)20sekarang

Sebuah panggung menjual 1350 tiket setiap pertunjukan pada harga €20 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 50 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 50 lebih). Cari harga tiket p yang memaksimumkan hasil.

1350 × €2050 / €1
p = €
7.KamiranSederhana
xy3y = 0.5x

Rantau di bawah y = 0.5x dari x = 0 ke x = 3 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.KamiranSukar
xy2.5y = 5xy = 2x²

Rantau antara garis y = 5x dan parabola y = 2x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 5xy = 2x²
V =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 3.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 7x/(√(x2 + 7x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 7/(1 + 1) = 3.5

Jawapan

L = 3.5
2.Had

Jawapan: L = 5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Petua L'Hôpital

L = limx→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

Gantikan x = 0

L = 5/1 = 5

Jawapan

L = 5
3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.077

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

Jawapan

f′(2) = 0.077
4.Terbitan

Jawapan: b = −7

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Titik dan kecerunan

f(1) = −3
f′(x) = 6x − 2 → f′(1) = 4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 4·1 = −7

Jawapan

b = −7
5.Pengoptimuman

Jawapan: x = 18.52 m

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 35x + 12000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 24000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(12000/35) = 18.52 m
y = 600/18.52 = 32.4 m

Kos minimum

C = 35·18.52 + 12000/18.52 = €1296

Jawapan

x = 18.52 m
6.Pengoptimuman

Jawapan: p = 23.5 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Hasil sebagai fungsi harga

n(p) = 2350 − 50p
R(p) = 2350p − 50p²

Tetapkan terbitan kepada sifar

R″(p) = −100 < 0, maka ini ialah maksimum.

p = 2350/100 = €23.5

Hasil maksimum

n = 2350 − 50·23.5 = 1175
R = 23.5·1175 = €27613

Jawapan

p = €23.5
7.Kamiran

Jawapan: V = 7.069

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀3 0.25x² dx

Kamirkan

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

Jawapan

V = 7.069

Semakan: kon berjejari 1.5 dan tinggi 3 mempunyai (1/3)πr²h = 7.069.

8.Kamiran

Jawapan: V = 163.6

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

Kaedah sesendal

V = π∫₀2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Kamirkan

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

Jawapan

V = 163.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1