Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (√(x2 + 6x) − x).

f(x) = √(x2 + 6x) − xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = −1

Biar f(x) = (2x − 3)4. Cari f′(−1).

f(x) = (2x − 3)4x = −1
f′(−1) =
4.TerbitanSukar
xyx = −2

Garis tangen kepada f(x) = 2x2 + 2x + 5 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x2 + 2x + 5x = −2
b =
5.PengoptimumanSederhana
sisi jalan: €40/m€5/myyx

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 400 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €40 semeter; tiga sisi yang lain berharga €5 semeter. Cari jumlah kos minimum C.

A = 400 m²€40/m€5/m
C = €
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 70 − 0.1q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 1800 + 10q euro. Cari keluaran mingguan q yang memaksimumkan keuntungan.

p = 70 − 0.1qC = 1800 + 10q
q = unit
7.KamiranSederhana
xy11.5y = x ln x

Nilaikan I = ∫₁1.5 x·ln x dx.

∫₁1.5 x ln x dx
I =
8.KamiranSukar
xy2y = 4xy = 2x²

Rantau antara garis y = 4x dan parabola y = 2x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 4xy = 2x²
V =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 3

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 6x/(√(x2 + 6x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Jawapan

L = 3
2.Had

Jawapan: L = 4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Penggunaan kedua

16·cos 4x/4

Gantikan x = 0

L = 16/4 = 4

Jawapan

L = 4
3.Terbitan

Jawapan: f′(−1) = −1000

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 4·(2x − 3)3·2

Gantikan

f′(−1) = 4·(−5)3·2 = −1000

Jawapan

f′(−1) = −1000
4.Terbitan

Jawapan: b = −3

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Titik dan kecerunan

f(−2) = 9
f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − (−6)·(−2) = −3

Jawapan

b = −3
5.Pengoptimuman

Jawapan: C = 848.5 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 45x + 4000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 8000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(4000/45) = 9.428 m
y = 400/9.428 = 42.43 m

Kos minimum

C = 45·9.428 + 4000/9.428 = €848.5

Jawapan

C = €848.5
6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 300 unit

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = (70 − 0.1q)·q − (1800 + 10q) = −0.1q2 + 60q − 1800

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.2 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 60/0.2 = 300

Harga dan keuntungan

p = 70 − 0.1·300 = €40
P = 60·300 − 0.1·300² − 1800 = €7200

Jawapan

q = 300
7.Kamiran

Jawapan: I = 0.1436

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436

Jawapan

I = 0.1436
8.Kamiran

Jawapan: V = 53.62

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Kaedah sesendal

V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx

Kamirkan

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17.07 = 53.62

Jawapan

V = 53.62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1