Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (−4x³ − 4x − 7)/(5x³ + x + 4).

f(x) = (−4x³ − 4x − 7)/(5x³ + x + 4)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x².

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (3x + 5)³. Cari f′(2).

f(x) = (3x + 5)³x = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² − 2x − 4 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² − 2x − 4x = 3

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 13500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari luas permukaan minimum S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.PengoptimumanSukar

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 60 − 0.2q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 600 + 20q euro. Cari keuntungan mingguan maksimum P.

p = 60 − 0.2qC = 600 + 20q

P = €

7.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = x dari x = 0 ke x = 4 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx.

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −0.8

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(−4 + (−4)/x² + (−7)/x³)/(5 + 1/x² + 4/x³)

Biarkan x → ∞

L = −4/5 = −0.8

Jawapan

L = −0.8

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 1.125

Penggunaan pertama

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

2.25·e^1.5x/2

Gantikan x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

Jawapan

L = 1.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 1089

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(3x + 5)²·3

Gantikan

f′(2) = 3·11²·3 = 1089

Jawapan

f′(2) = 1089

4.Terbitan

Jawapan: b = −8.5

Titik dan kecerunan

f(3) = −5.5

f′(x) = x − 2 → f′(3) = 1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5.5 − 1·3 = −8.5

Jawapan

b = −8.5

5.Pengoptimuman

Jawapan: S = 2700 cm²

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 54000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Tinggi dan luas

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Jawapan

S = 2700 cm²

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: P = 1400 €

Fungsi keuntungan

P(q) = (60 − 0.2q)·q − (600 + 20q) = −0.2q² + 40q − 600

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 40/0.4 = 100

Harga dan keuntungan

p = 60 − 0.2·100 = €40

P = 40·100 − 0.2·100² − 600 = €1400

Jawapan

P = €1400

7.Kamiran

Jawapan: V = 67.02

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀⁴ 1x² dx

Kamirkan

V = π·1·4³/3 = 67.02

Jawapan

V = 67.02

Semakan: kon berjejari 4 dan tinggi 4 mempunyai (1/3)πr²h = 67.02.

8.Kamiran

Jawapan: I = 0.0609

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

Jawapan

I = 0.0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1