Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (√(9x2 − 4x) − 3x).

f(x) = √(9x2 − 4x) − 3xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = −2

Biar f(x) = ln(x2 + 2). Cari f′(−2).

f(x) = ln(x2 + 2)x = −2
f′(−2) =
4.TerbitanSukar
xy

Biar f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 6. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 6
x =
5.PengoptimumanSederhana
sisi jalan: €40/m€5/myyx

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 200 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €40 semeter; tiga sisi yang lain berharga €5 semeter. Cari jumlah kos minimum C.

A = 200 m²€40/m€5/m
C = €
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 170 − 0.1q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 4200 + 105q euro. Cari keluaran mingguan q yang memaksimumkan keuntungan.

p = 170 − 0.1qC = 4200 + 105q
q = unit
7.KamiranSederhana
xyπ/2y = x·sin x

Nilaikan I = ∫₀π/2 x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀π/2 x·sin x dx
I =
8.KamiranSukar
xy2.5y = x²eˣ

Nilaikan I = ∫₀2.5 x²·eˣ dx.

∫₀2.5 x²eˣ dx
I =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −0.6667

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −4x/(√(9x2 − 4x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −4/(√(9 + (−4)/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = −4/(3 + 3) = −0.6667

Jawapan

L = −0.6667
2.Had

Jawapan: L = 3

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Petua L'Hôpital

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Gantikan x = 0

L = 3/1 = 3

Jawapan

L = 3
3.Terbitan

Jawapan: f′(−2) = −0.6667

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x2 + 2)

Gantikan

f′(−2) = −4/6 = −0.6667

Jawapan

f′(−2) = −0.6667
4.Terbitan

Jawapan: x = 1

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 18: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 1

Jawapan

x = 1
5.Pengoptimuman

Jawapan: C = 600 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 45x + 2000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 4000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(2000/45) = 6.667 m
y = 200/6.667 = 30 m

Kos minimum

C = 45·6.667 + 2000/6.667 = €600

Jawapan

C = €600
6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 325 unit

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = (170 − 0.1q)·q − (4200 + 105q) = −0.1q2 + 65q − 4200

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.2 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 65/0.2 = 325

Harga dan keuntungan

p = 170 − 0.1·325 = €137.5
P = 65·325 − 0.1·325² − 4200 = €6363

Jawapan

q = 325
7.Kamiran

Jawapan: I = 1

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiterbitan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Had

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Jawapan

I = 1
8.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1