Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (√(9x2 + 7x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 7x) − 3xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 2

Biar f(x) = ln(2x2 + 4). Cari f′(2).

f(x) = ln(2x2 + 4)x = 2
f′(2) =
4.TerbitanSukar
xyx = 2

Garis tangen kepada f(x) = −x2 + 3x − 1 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x2 + 3x − 1x = 2
b =
5.PengoptimumanSederhana
rh

Sebuah tin silinder tertutup (dengan penutup atas dan bawah) mesti memuatkan 400 cm³. Logam yang digunakan berkadar dengan jumlah luas permukaan. Cari luas permukaan terkecil yang mungkin A.

V = 400 cm³
A = cm²
6.PengoptimumanSukar
p (€)R(p)25sekarang

Sebuah panggung menjual 1760 tiket setiap pertunjukan pada harga €25 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 40 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 40 lebih). Cari harga tiket p yang memaksimumkan hasil.

1760 × €2540 / €1
p = €
7.KamiranSederhana
xy4y = √(2x)

Rantau di bawah y = √(2x) dari x = 0 ke x = 4 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (paraboloid).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.KamiranSukar
xy1y = x²eˣ

Nilaikan I = ∫₀1 x²·eˣ dx.

∫₀1 x²eˣ dx
I =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 1.167

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 7x/(√(9x2 + 7x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 7/(√(9 + 7/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = 7/(3 + 3) = 1.167

Jawapan

L = 1.167
2.Had

Jawapan: L = 4.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·e3x/2

Gantikan x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

Jawapan

L = 4.5
3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.6667

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 4x/(2x2 + 4)

Gantikan

f′(2) = 8/12 = 0.6667

Jawapan

f′(2) = 0.6667
4.Terbitan

Jawapan: b = 3

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Titik dan kecerunan

f(2) = 1
f′(x) = −2x + 3 → f′(2) = −1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−1)·2 = 3

Jawapan

b = 3
5.Pengoptimuman

Jawapan: A = 300.5 cm²

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Tetapkan terbitan kepada sifar

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, maka ini ialah minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

Tinggi dan luas

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

Jawapan

A = 300.5 cm²

Tin tertutup yang paling murah adalah setinggi lebarnya: h = 2r.

6.Pengoptimuman

Jawapan: p = 34.5 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Hasil sebagai fungsi harga

n(p) = 2760 − 40p
R(p) = 2760p − 40p²

Tetapkan terbitan kepada sifar

R″(p) = −80 < 0, maka ini ialah maksimum.

p = 2760/80 = €34.5

Hasil maksimum

n = 2760 − 40·34.5 = 1380
R = 34.5·1380 = €47610

Jawapan

p = €34.5
7.Kamiran

Jawapan: V = 50.27

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀4 2x dx

Kamirkan

V = π·2·4²/2 = 50.27

Jawapan

V = 50.27
8.Kamiran

Jawapan: I = 0.7183

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

Jawapan

I = 0.7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1