Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
Cari had L = limx→∞ (2x2 + 4x + 7)/(5x2 + 4x + 9).
Cari had L = limx→0 (e1.5x − 1 − 1.5x)/x².
Biar f(x) = (−2x − 3)5. Cari f′(1).
Garis tangen kepada f(x) = 0.5x2 − x + 3 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.
Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 62500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari luas permukaan minimum S.
Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 70 − 0.2q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 600 + 35q euro. Cari keluaran mingguan q yang memaksimumkan keuntungan.
Nilaikan I = ∫₁2 x·ln x dx.
Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x2 dan y = 4x.
Jawapan: L = 0.4
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.
Jawapan: L = 1.125
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Jawapan: f′(1) = −6250
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
Jawapan: b = 1
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
Jawapan: S = 7500 cm²
Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.
Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.
Jawapan: q = 87.5 unit
Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.
P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.
Jawapan: I = 0.6363
Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.
Jawapan: A = 10.67
Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1