Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (1 − 2/x)x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (e0.5x − 1 − 0.5x)/x².

f(x) = (e0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 0.5

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(0.5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.TerbitanSukar
xy

Biar f(x) = x3 + 1.5x2 + 5. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x3 + 1.5x2 + 5
x =
5.PengoptimumanSederhana
rh

Sebuah tin silinder tertutup (dengan penutup atas dan bawah) mesti memuatkan 330 cm³. Logam yang digunakan berkadar dengan jumlah luas permukaan. Cari luas permukaan terkecil yang mungkin A.

V = 330 cm³
A = cm²
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €35 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 200 + 18q + 0.2q² euro. Cari keluaran q yang memaksimumkan keuntungan.

p = €35C = 200 + 18q + 0.2q²
q = unit
7.KamiranSederhana
xy02

Nilaikan I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
8.KamiranSukar
xy2y = 2xy = x²

Rantau antara garis y = 2x dan parabola y = x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 2xy = x²
V =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.1353

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = limx→∞ x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Buat songsangan logaritma

L = e−2 = 0.1353

Jawapan

L = 0.1353
2.Had

Jawapan: L = 0.125

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

(0.5·e0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125
3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(0.5) = 1.382
4.Terbitan

Jawapan: x = −1

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 + 3x = 3·(x2 + x)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 0

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 3: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3
x = −1

Jawapan

x = −1
5.Pengoptimuman

Jawapan: A = 264.4 cm²

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 330/(πr²)
A(r) = 2πr² + 660/r

Tetapkan terbitan kepada sifar

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, maka ini ialah minimum.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm

Tinggi dan luas

h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm
A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²

Jawapan

A = 264.4 cm²

Tin tertutup yang paling murah adalah setinggi lebarnya: h = 2r.

6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 42.5 unit

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = 35q − (200 + 18q + 0.2q²) = −0.2q2 + 17q − 200

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.

17 − 0.4q = 0 → q = 42.5

Keuntungan maksimum

P = 17·42.5 − 0.2·42.5² − 200 = €161.3

Jawapan

q = 42.5
7.Kamiran

Jawapan: I = 41.33

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33

Jawapan

I = 41.33
8.Kamiran

Jawapan: V = 13.4

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Kaedah sesendal

V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx

Kamirkan

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4.267 = 13.4

Jawapan

V = 13.4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1