Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (x³ + 4)/(4x³ + 4x + 5).

f(x) = (x³ + 4)/(4x³ + 4x + 5)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^2x. Cari f′(1).

f(x) = x³·e^2xx = 1

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 1.5x² − 1. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 1.5x² − 1

x =

5.PengoptimumanSederhana

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 600 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €25 semeter; tiga sisi yang lain berharga €8 semeter. Cari jumlah kos minimum C.

A = 600 m²€25/m€8/m

C = €

6.PengoptimumanSukar

Sebuah panggung menjual 580 tiket setiap pertunjukan pada harga €10 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 20 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 20 lebih). Cari hasil maksimum R setiap pertunjukan.

580 × €1020 / €1

R = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 3]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.25

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(1 + 4/x³)/(4 + 4/x² + 5/x³)

Biarkan x → ∞

L = 1/4 = 0.25

Jawapan

L = 0.25

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 2

Penggunaan pertama

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·e^−2x/2

Gantikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 36.95

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Gantikan

f′(1) = 7.389·(3 + 2) = 36.95

Jawapan

f′(1) = 36.95

4.Terbitan

Jawapan: x = −1

Terbitan

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 0

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 3: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Jawapan

x = −1

5.Pengoptimuman

Jawapan: C = 1126 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 33x + 9600/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 19200/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(9600/33) = 17.06 m

y = 600/17.06 = 35.18 m

Kos minimum

C = 33·17.06 + 9600/17.06 = €1126

Jawapan

C = €1126

6.Pengoptimuman

Jawapan: R = 7605 €

Hasil sebagai fungsi harga

n(p) = 780 − 20p

R(p) = 780p − 20p²

Tetapkan terbitan kepada sifar

R″(p) = −40 < 0, maka ini ialah maksimum.

p = 780/40 = €19.5

Hasil maksimum

n = 780 − 20·19.5 = 390

R = 19.5·390 = €7605

Jawapan

R = €7605

7.Kamiran

Jawapan: I = 19.09

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^x/1

Nilaikan pada had

I = (e³ − 1)/1 = (20.09 − 1)/1 = 19.09

Jawapan

I = 19.09

8.Kamiran

Jawapan: A = 0.1667

Titik persilangan

x² = x → x = 0, x = 1

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

Jawapan

A = 0.1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1