Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x).

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x².

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (4x − 1)³. Cari f′(2).

f(x) = (4x − 1)³x = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 6. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 6

x =

5.PengoptimumanSederhana

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 300 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €40 semeter; tiga sisi yang lain berharga €10 semeter. Cari jumlah kos minimum C.

A = 300 m²€40/m€10/m

C = €

6.PengoptimumanSukar

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €75 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 3000 + 4q + 0.25q² euro. Cari keuntungan maksimum P.

p = €75C = 3000 + 4q + 0.25q²

P = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −3.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3.5

Jawapan

L = −3.5

2.Had

Jawapan: L = 1.125

Penggunaan pertama

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

2.25·e^1.5x/2

Gantikan x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

Jawapan

L = 1.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 588

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(4x − 1)²·4

Gantikan

f′(2) = 3·7²·4 = 588

Jawapan

f′(2) = 588

4.Terbitan

Jawapan: x = 3

Terbitan

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 4

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 21: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

Jawapan

x = 3

5.Pengoptimuman

Jawapan: C = 1095 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 50x + 6000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 12000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(6000/50) = 10.95 m

y = 300/10.95 = 27.39 m

Kos minimum

C = 50·10.95 + 6000/10.95 = €1095

Jawapan

C = €1095

6.Pengoptimuman

Jawapan: P = 2041 €

Fungsi keuntungan

P(q) = 75q − (3000 + 4q + 0.25q²) = −0.25q² + 71q − 3000

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.5 < 0, maka ini ialah maksimum.

71 − 0.5q = 0 → q = 142

Keuntungan maksimum

P = 71·142 − 0.25·142² − 3000 = €2041

Jawapan

P = €2041

7.Kamiran

Jawapan: I = 8.047

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 5·ln x

Nilaikan pada had

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8.047

Jawapan

I = 8.047

8.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Titik persilangan

x² = 2x → x = 0, x = 2

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

Jawapan

A = 1.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1