Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (6x3 − x − 5)/(x3 + 2x + 1).

f(x) = (6x3 − x − 5)/(x3 + 2x + 1)x → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 0.5

Biar f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Cari f′(0.5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.TerbitanSukar
xy

Biar f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 4. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 4
x =
5.PengoptimumanSederhana
sisi jalan: €40/m€12/myyx

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 300 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €40 semeter; tiga sisi yang lain berharga €12 semeter. Cari jumlah kos minimum C.

A = 300 m²€40/m€12/m
C = €
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 80 − 0.2q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 3700 + 10q euro. Cari harga p yang memaksimumkan keuntungan.

p = 80 − 0.2qC = 3700 + 10q
p = €
7.KamiranSederhana
xy4y = x

Rantau di bawah y = x dari x = 0 ke x = 4 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.KamiranSukar
xy0.5y = x²eˣ

Nilaikan I = ∫₀0.5 x²·eˣ dx.

∫₀0.5 x²eˣ dx
I =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 6

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(6 + (−1)/x2 + (−5)/x3)/(1 + 2/x2 + 1/x3)

Biarkan x → ∞

L = 6/1 = 6

Jawapan

L = 6

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Penggunaan kedua

16·cos 4x/4

Gantikan x = 0

L = 16/4 = 4

Jawapan

L = 4
3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 1.104

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

Jawapan

f′(0.5) = 1.104
4.Terbitan

Jawapan: x = 5

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 18: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 5

Jawapan

x = 5
5.Pengoptimuman

Jawapan: C = 1224 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 52x + 7200/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 14400/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(7200/52) = 11.77 m
y = 300/11.77 = 25.5 m

Kos minimum

C = 52·11.77 + 7200/11.77 = €1224

Jawapan

C = €1224
6.Pengoptimuman

Jawapan: p = 45 €

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = (80 − 0.2q)·q − (3700 + 10q) = −0.2q2 + 70q − 3700

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 70/0.4 = 175

Harga dan keuntungan

p = 80 − 0.2·175 = €45
P = 70·175 − 0.2·175² − 3700 = €2425

Jawapan

p = €45
7.Kamiran

Jawapan: V = 67.02

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀4 1x² dx

Kamirkan

V = π·1·4³/3 = 67.02

Jawapan

V = 67.02

Semakan: kon berjejari 4 dan tinggi 4 mempunyai (1/3)πr²h = 67.02.

8.Kamiran

Jawapan: I = 0.0609

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

Jawapan

I = 0.0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1