Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(0.5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = −x² − 3x − 4 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x² − 3x − 4x = 1

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebidang tanah segi empat tepat seluas 400 m² dipagar pada keempat-empat sisi. Sisi di sepanjang jalan, berpanjang x, berharga €15 semeter; tiga sisi yang lain berharga €5 semeter. Cari panjang x sisi jalan yang meminimumkan kos.

A = 400 m²€15/m€5/m

x = m

6.PengoptimumanSukar

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €50 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 1000 + 36q + 0.01q² euro. Cari keuntungan maksimum P.

p = €50C = 1000 + 36q + 0.01q²

P = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁² 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 2]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.1353

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

Buat songsangan logaritma

L = e⁻² = 0.1353

Jawapan

L = 0.1353

2.Had

Jawapan: L = 0.6667

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Gantikan x = 0

L = 2/3 = 0.6667

Jawapan

L = 0.6667

3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(0.5) = 1.382

4.Terbitan

Jawapan: b = −3

Titik dan kecerunan

f(1) = −8

f′(x) = −2x − 3 → f′(1) = −5

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8 − (−5)·1 = −3

Jawapan

b = −3

5.Pengoptimuman

Jawapan: x = 14.14 m

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Kos sebagai fungsi x

C(x) = 20x + 4000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

C″(x) = 8000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x = √(4000/20) = 14.14 m

y = 400/14.14 = 28.28 m

Kos minimum

C = 20·14.14 + 4000/14.14 = €565.7

Jawapan

x = 14.14 m

6.Pengoptimuman

Jawapan: P = 3900 €

Fungsi keuntungan

P(q) = 50q − (1000 + 36q + 0.01q²) = −0.01q² + 14q − 1000

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.02 < 0, maka ini ialah maksimum.

14 − 0.02q = 0 → q = 700

Keuntungan maksimum

P = 14·700 − 0.01·700² − 1000 = €3900

Jawapan

P = €3900

7.Kamiran

Jawapan: I = 1.386

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 2·ln x

Nilaikan pada had

I = 2·(ln 2 − ln 1) = 2·ln 2 = 1.386

Jawapan

I = 1.386

8.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1