Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
Cari had L = limx→∞ (4x2 − 6x + 9)/(x2 + x + 2).
Cari had L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(5x), dengan x dalam radian.
Biar f(x) = (3x + 3)3. Cari f′(0).
Biar f(x) = x3 − 12x2 + 45x + 5. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.
Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 62500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari tinggi h.
Sebuah panggung menjual 760 tiket setiap pertunjukan pada harga €10 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 40 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 40 lebih). Cari harga tiket p yang memaksimumkan hasil.
Nilaikan I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx.
Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.
Jawapan: L = 4
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.
Jawapan: L = 0.8
Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).
Jawapan: f′(0) = 81
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
Jawapan: x = 5
Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.
f″(x) = 6x − 24: negatif pada maksimum, positif pada minimum.
Jawapan: h = 25 cm
Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.
Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.
Jawapan: p = 14.5 €
Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.
R″(p) = −80 < 0, maka ini ialah maksimum.
Jawapan: I = 156
Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.
Jawapan: A = 10.67
Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1