Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(1.5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² − 2x − 4 pada x = −1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² − 2x − 4x = −1

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 62500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari tinggi h.

V = 62500 cm³

h = cm

6.PengoptimumanSukar

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €75 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 14300 + 6q + 0.05q² euro. Cari keuntungan maksimum P.

p = €75C = 14300 + 6q + 0.05q²

P = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x² dan y = 2x.

y = 0.5x²y = 2x

A =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.01832

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Buat songsangan logaritma

L = e⁻⁴ = 0.01832

Jawapan

L = 0.01832

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Gantikan x = 0

L = 1/2 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(1.5) = −2.829

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

Jawapan

f′(1.5) = −2.829

4.Terbitan

Jawapan: b = −4.5

Titik dan kecerunan

f(−1) = −1.5

f′(x) = x − 2 → f′(−1) = −3

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1.5 − (−3)·(−1) = −4.5

Jawapan

b = −4.5

5.Pengoptimuman

Jawapan: h = 25 cm

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 250000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Tinggi dan luas

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Jawapan

h = 25 cm

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: P = 9505 €

Fungsi keuntungan

P(q) = 75q − (14300 + 6q + 0.05q²) = −0.05q² + 69q − 14300

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.1 < 0, maka ini ialah maksimum.

69 − 0.1q = 0 → q = 690

Keuntungan maksimum

P = 69·690 − 0.05·690² − 14300 = €9505

Jawapan

P = €9505

7.Kamiran

Jawapan: I = 1.718

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^x/1

Nilaikan pada had

I = (e¹ − 1)/1 = (2.718 − 1)/1 = 1.718

Jawapan

I = 1.718

8.Kamiran

Jawapan: A = 5.333

Titik persilangan

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

Jawapan

A = 5.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1