Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (√(9x2 − 4x) − 3x).

f(x) = √(9x2 − 4x) − 3xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (1 − cos 5x)/(x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 0.5

Biar f(x) = x2·e0.5x. Cari f′(0.5).

f(x) = x2·e0.5xx = 0.5
f′(0.5) =
4.TerbitanSukar
xy

Biar f(x) = x3 − 10.5x2 + 30x + 1. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x3 − 10.5x2 + 30x + 1
x =
5.PengoptimumanSederhana
xhxtanpa penutup

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 108000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari sisi tapak x.

V = 108000 cm³
x = cm
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 110 − 0.1q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 4200 + 35q euro. Cari keluaran mingguan q yang memaksimumkan keuntungan.

p = 110 − 0.1qC = 4200 + 35q
q = unit
7.KamiranSederhana
xy02

Nilaikan I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
8.KamiranSukar
xy1y = 3xy = 3x²

Rantau antara garis y = 3x dan parabola y = 3x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 3xy = 3x²
V =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −0.6667

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −4x/(√(9x2 − 4x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −4/(√(9 + (−4)/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = −4/(3 + 3) = −0.6667

Jawapan

L = −0.6667
2.Had

Jawapan: L = 12.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

25·cos 5x/2

Gantikan x = 0

L = 25/2 = 12.5

Jawapan

L = 12.5
3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 1.445

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e0.5x·(2x + 0.5·x2)

Gantikan

f′(0.5) = 1.284·(1 + 0.125) = 1.445

Jawapan

f′(0.5) = 1.445
4.Terbitan

Jawapan: x = 2

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 − 21x + 30 = 3·(x2 − 7x + 10)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 21: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(2) = −9, f″(5) = 9
x = 2

Jawapan

x = 2
5.Pengoptimuman

Jawapan: x = 60 cm

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 432000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Tinggi dan luas

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Jawapan

x = 60 cm

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 375 unit

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = (110 − 0.1q)·q − (4200 + 35q) = −0.1q2 + 75q − 4200

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.2 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 75/0.2 = 375

Harga dan keuntungan

p = 110 − 0.1·375 = €72.5
P = 75·375 − 0.1·375² − 4200 = €9863

Jawapan

q = 375
7.Kamiran

Jawapan: I = 12

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12

Jawapan

I = 12
8.Kamiran

Jawapan: V = 3.77

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Kaedah sesendal

V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx

Kamirkan

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

Jawapan

V = 3.77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1