Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (1 + 3/x)2x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 3/x)2xx → ∞
L =
2.HadSukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x².

f(x) = (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0
L =
3.TerbitanSederhana
xyx = 2

Biar f(x) = (−2x − 3)3. Cari f′(2).

f(x) = (−2x − 3)3x = 2
f′(2) =
4.TerbitanSukar
xy

Biar f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 4. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 4
x =
5.PengoptimumanSederhana
xhxtanpa penutup

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari sisi tapak x.

V = 500 cm³
x = cm
6.PengoptimumanSukar
qP(q)maksimum

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €75 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 1700 + 34q + 0.05q² euro. Cari keluaran q yang memaksimumkan keuntungan.

p = €75C = 1700 + 34q + 0.05q²
q = unit
7.KamiranSederhana
xy15y = x ln x

Nilaikan I = ∫₁5 x·ln x dx.

∫₁5 x ln x dx
I =
8.KamiranSukar
xy1.333y = 4xy = 3x²

Rantau antara garis y = 4x dan parabola y = 3x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 4xy = 3x²
V =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 403.4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 3/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·3 = 6

Buat songsangan logaritma

L = e6 = 403.4

Jawapan

L = 403.4
2.Had

Jawapan: L = 0.125

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Penggunaan pertama

(−0.5·e−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e−0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125
3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = −294

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(−2x − 3)2·(−2)

Gantikan

f′(2) = 3·(−7)2·(−2) = −294

Jawapan

f′(2) = −294
4.Terbitan

Jawapan: x = 1

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 + 6x − 9 = 3·(x2 + 2x − 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 6: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12
x = 1

Jawapan

x = 1
5.Pengoptimuman

Jawapan: x = 10 cm

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 2000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Tinggi dan luas

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Jawapan

x = 10 cm

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 410 unit

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Fungsi keuntungan

P(q) = 75q − (1700 + 34q + 0.05q²) = −0.05q2 + 41q − 1700

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.1 < 0, maka ini ialah maksimum.

41 − 0.1q = 0 → q = 410

Keuntungan maksimum

P = 41·410 − 0.05·410² − 1700 = €6705

Jawapan

q = 410
7.Kamiran

Jawapan: I = 14.12

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

Jawapan

I = 14.12
8.Kamiran

Jawapan: V = 15.89

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

4x = 3x² → x = 0, x = 1.333

Kaedah sesendal

V = π∫₀1.333 ((4x)² − (3x²)²) dx

Kamirkan

V = π(16·1.333³/3 − 9·1.333⁵/5) = π·5.057 = 15.89

Jawapan

V = 15.89

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1