Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy15

Nilaikan I = ∫15 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 5]
I =
2.KamiranSukar
xy−22

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²
A =
3.Jujukan & siriSederhana
AΣ k!/10ᵏk = 1 … ∞BΣ 1/√kk = 1 … ∞CΣ k/(k + 1)k = 1 … ∞DΣ 1/k⁴k = 1 … ∞

Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.

A: Σ k!/10ᵏB: Σ 1/√kC: Σ k/(k + 1)D: Σ 1/k⁴
  1. 1A: Σ k!/10ᵏ
  2. 2B: Σ 1/√k
  3. 3C: Σ k/(k + 1)
  4. 4D: Σ 1/k⁴
4.Jujukan & siriSukar

f(x) = eˣ dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 4 pada x = 1.5. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = e1.5 = 4.482 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₄|.

f(x) = eˣn = 4x = 1.5M = 4.482
|R₄| =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana
xy−2−2P

Satah tangen kepada z = −3xy³ − 4y² − 3xy pada titik yang (x, y) = (−2, −2) boleh ditulis sebagai z = px + qy + c. Cari c.

f(x, y) = −3xy³ − 4y² − 3xy(a, b) = (−2, −2)
c =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xyy = 2y = x22

Kamiran I = ∫02 ∫x2 sin(y²) dy dx tidak dapat dilakukan dalam susunan ini. Songsangkan susunan pengamiran dan nilaikannya.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
7.Persamaan pembezaanSederhana
tyy(0) = 2y(2) = ?

Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0. Cari y(2).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(2) =
8.Persamaan pembezaanSukar
tyK = 2ymax​ = ?

Satu sistem mematuhi y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak ymax sambutan langkahnya.

y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 3.219

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 2·ln x

Nilaikan pada had

I = 2·(ln 5 − ln 1) = 2·ln 5 = 3.219

Jawapan

I = 3.219
2.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67
3.Jujukan & siri

Jawapan: D: Σ 1/k⁴

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Uji setiap siri

A: Σ k!/10ᵏ → Ujian nisbah: L = lim (k + 1)/10 = ∞, mencapah.
B: Σ 1/√k → Siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1: mencapah.
C: Σ k/(k + 1) → Sebutan menuju 1, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.
D: Σ 1/k⁴ → Siri-p dengan p = 4 > 1: menumpu.

Jawapannya

D: Σ 1/k⁴

Jawapan

D: Σ 1/k⁴
4.Jujukan & siri

Jawapan: |R₄| = 0.2836

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had pada terbitan

M = e1.5 = 4.482

Had Lagrange

|R₄| ≤ 4.482·1.5⁵/5! = 0.2836

Jawapan

|R₄| = 0.2836

Ralat sebenar lebih kecil: |f(1.5) − P₄(1.5)| = 0.08325.

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: c = 172

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Nilai dan cerun pada titik itu

f(−2, −2) = −76
fx = −3y³ − 3y → fx(−2, −2) = 30
fy = −9xy² − 8y − 3x → fy(−2, −2) = 94

Satah tangen

z = −76 + 30(x + 2) + 94(y + 2)
z = 30x + 94y + 172

Sebutan malar

c = 172

Jawapan

c = 172
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: I = 0.8268

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Rantau

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2

Susunan disongsangkan

I = ∫02 ∫0y sin(y²) dx dy = ∫02 y·sin(y²) dy

Penggantian u = y²

I = [−cos(y²)/2]02 = 0.8268

Jawapan

I = 0.8268
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.3383

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 2, −1A − 5B = 0
A = 2.5, B = −0.5

Nilaikan

y(2) = 2.5·e−2 + (−0.5)·e−10 = 0.3383

Jawapan

y(2) = 0.3383
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: ymax = 2.616

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

yss = 2, r = −1.5 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.75

Puncak

t = π/4 = 0.7854
ymax = 2·(1 + e−1.5·π/4) = 2.616

Jawapan

ymax = 2.616

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2