Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy2y = √(2x)

Rantau di bawah y = √(2x) dari x = 0 ke x = 2 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (paraboloid).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2
V =
2.KamiranSukar
xy4y = 2xy = 0.5x²

Rantau antara garis y = 2x dan parabola y = 0.5x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 2xy = 0.5x²
V =
3.Jujukan & siriSederhana
xx₀ = 2??R

Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σk=1∞ (x − 2)ᵏ/(k·5ᵏ).

Σ (x − 2)ᵏ/(k·5ᵏ)x₀ = 2
R =
4.Jujukan & siriSukar

f(x) = eˣ dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 5 pada x = −0.5. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₅|.

f(x) = eˣn = 5x = −0.5M = 1
|R₅| =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana
xy05−4−20vP

Bagi f(x, y) = −4xy + 2x² + 4y³, cari terbitan arah Duf pada (3, −2) dalam arah v = (2, −2).

f(x, y) = −4xy + 2x² + 4y³P = (3, −2)v = (2, −2)
Duf =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Cari titik genting bagi f(x, y) = x³ + y³ − 3xy, kelaskannya, dan beri nilai fmin bagi f pada minimum tempatannya.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy
fmin =
7.Persamaan pembezaanSederhana
tyy(0) = 2y(1.5) = ?

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -2. Cari y(1.5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1.5) =
8.Persamaan pembezaanSukar
tyK = 5y(0.75) = ?

Satu sistem mematuhi y″ + 4y′ + 13y = 65 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0.75); sudut dalam radian.

y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: V = 12.57

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀2 2x dx

Kamirkan

V = π·2·2²/2 = 12.57

Jawapan

V = 12.57
2.Kamiran

Jawapan: V = 107.2

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

2x = 0.5x² → x = 0, x = 4

Kaedah sesendal

V = π∫₀4 ((2x)² − (0.5x²)²) dx

Kamirkan

V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2

Jawapan

V = 107.2
3.Jujukan & siri

Jawapan: R = 5

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pekali

ck/ck+1 = 5·((k + 1)/k) → 5

Jejari

R = 5

Jawapan

R = 5

Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.

4.Jujukan & siri

Jawapan: |R₅| = 2.17 × 10⁻⁵

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had pada terbitan

M = 1

Had Lagrange

|R₅| ≤ 1·0.5⁶/6! = 2.17 × 10⁻⁵

Jawapan

|R₅| = 2.17 × 10⁻⁵

Ralat sebenar lebih kecil: |f(−0.5) − P₅(−0.5)| = 2.024 × 10⁻⁵.

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: Duf = −11.31

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Kecerunan pada titik itu

fx = −4y + 4x → fx(3, −2) = 20
fy = −4x + 12y² → fy(3, −2) = 36

Vektor unit

|v| = √(2² + (−2)²) = 2.828
u = (0.7071, −0.7071)

Hasil darab titik

Duf = 20·0.7071 + 36·(−0.7071) = −11.31

Jawapan

Duf = −11.31
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: fmin = −1

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik genting

Selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama.

fx = 3x² − 3y = 0
fy = 3y² − 3x = 0
(0, 0), (1, 1)

Ujian terbitan kedua

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −3, D = −9 → titik pelana
(1, 1): fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3, D = 27 → minimum tempatan

Nilai pada ekstrem

f(1, 1) = −1

Jawapan

fmin = −1
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.4463

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Pemalar

A = y(0) = 2
y′(0) = B − 1A → B = -2 + 2 = 0

Nilaikan

y(1.5) = (2 + 0·1.5)·e−1.5 = 0.4463

Jawapan

y(1.5) = 0.4463
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.75) = 5.122

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

yss = 5, r = −2 ± 3j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −3.333

Nilaikan

y(0.75) = 5·(1 − e−1.5(cos 2.25 + 0.6667·sin 2.25)) = 5.122

Jawapan

y(0.75) = 5.122

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2