Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Terbitan arah: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Ujian terbitan kedua: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Koordinat kutub: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (f_x, f_y) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
Untuk ekstrem selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = f_xx·f_yy − f_xy².
Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

2.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

3.Jujukan & siriSederhana

Cari hasil tambah S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 2)).

a_k = 5/(k(k + 2))

S =

4.Jujukan & siriSukar

f(x) = cos x dianggarkan pada x = 1 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana

Bagi f(x, y) = −3x²y² − 5x² − 5y³, cari terbitan arah D_uf pada (−1, −1) dalam arah v = (2, 1).

f(x, y) = −3x²y² − 5x² − 5y³P = (−1, −1)v = (2, 1)

D_uf =

6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar

Cari titik genting bagi f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y, kelaskannya, dan beri nilai f_max bagi f pada maksimum tempatannya.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y

f_max =

7.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 360 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 28 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.03 min⁻¹, cari suhunya T selepas 58 min.

T₀ = 360 °CT_a = 28 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 58 min

T = °C

8.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + y′ + 9.25y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 41.33

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

Jawapan

I = 41.33

2.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

3.Jujukan & siri

Jawapan: S = 3.75

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

5/(k(k + 2)) = (5/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Batal

S = (5/2)·(1 + 1/2) = 3.75

Jawapan

S = 3.75

4.Jujukan & siri

Jawapan: n = 8

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had untuk n yang meningkat

n = 7: 2.48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Darjah terkecil

n = 8

Jawapan

n = 8

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: D_uf = 10.29

Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah D_uf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Kecerunan pada titik itu

f_x = −6xy² − 10x → f_x(−1, −1) = 16

f_y = −6x²y − 15y² → f_y(−1, −1) = −9

Vektor unit

|v| = √(2² + 1²) = 2.236

u = (0.8944, 0.4472)

Hasil darab titik

D_uf = 16·0.8944 + (−9)·0.4472 = 10.29

Jawapan

D_uf = 10.29

6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: f_max = 11

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai f_x = f_y = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 dan f_xx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan f_xx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik genting

Selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama.

f_x = −(3x² − 3) = 0

f_y = −(2y − 6) = 0

(1, 3), (−1, 3)

Ujian terbitan kedua

(1, 3): f_xx = −6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 12 → maksimum tempatan

(−1, 3): f_xx = 6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −12 → titik pelana

Nilai pada ekstrem

f(1, 3) = 11

Jawapan

f_max = 11

7.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 86.27 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 28 + 332·e^−0.03t

Gantikan t

T(58) = 28 + 332·0.1755 = 86.27 °C

Jawapan

T = 86.27 °C

8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = −1.172

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca kompleks

r = −0.5 ± 3j

Pemalar

A = 2, B = 0.5·2/3 = 0.3333

Nilaikan

y(1) = e^−0.5(2·cos 3 + 0.3333·sin 3) = −1.172

Jawapan

y(1) = −1.172

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2