Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy1y = x·cos x

Nilaikan I = ∫₀1 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀1 x·cos x dx
I =
2.KamiranSukar
xyy = 0.5x2​y = x

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x2 dan y = x.

y = 0.5x2y = x
A =
3.Jujukan & siriSederhana
k|aₖ|¹ᐟᵏ123456789101112

Gunakan ujian punca pada Σk=1∞ ((4k + 2)/(6k + 6))ᵏ. Cari L = lim |ak|1/k.

ak = ((4k + 2)/(6k + 6))ᵏ
L =
4.Jujukan & siriSukar

f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 0.5 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 2, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.0001.

f(x) = eˣx = 0.5M = 2ε = 0.0001
n =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana
xy−2024−4−20vP

Bagi f(x, y) = −3x²y − 4x³ + 5y³ − 4xy, cari terbitan arah Duf pada (1, −2) dalam arah v = (2, −3).

f(x, y) = −3x²y − 4x³ + 5y³ − 4xyP = (1, −2)v = (2, −3)
Duf =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy20.5

Gunakan koordinat kutub untuk menilai I = ∬R e−(x² + y²) dA, dengan R ialah gelang 0.25 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = e−(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)7Ta​T = ?

Sekaleng minuman bergas pada 3 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 22 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.07 min⁻¹, cari suhunya T selepas 7 min.

T0 = 3 °CTa = 22 °Ck = 0.07 min⁻¹t = 7 min
T = °C
8.Persamaan pembezaanSukar
xy12(1, 0)y(2) = ?

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 4 bagi x > 0, dengan y(1) = 0. Cari y(2).

y′ + 2y/x = 4y(1) = 0
y(2) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 0.3818

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiterbitan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Had

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818

Jawapan

I = 0.3818
2.Kamiran

Jawapan: A = 0.6667

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Titik persilangan

0.5x2 = x → x = 0, x = 2

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x2 − 0.1667x3]02 = 0.6667

Jawapan

A = 0.6667
3.Jujukan & siri

Jawapan: L = 0.6667

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Punca sebutan

|ak|1/k = (4k + 2)/(6k + 6) → 4/6

Kesimpulan

L = 0.6667 < 1

Jawapan

L = 0.6667

L < 1, maka siri itu menumpu.

4.Jujukan & siri

Jawapan: n = 5

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

n(n + 1)!had011120.25260.041673240.00520841200.000520857204.34 × 10⁻⁵

Had untuk n yang meningkat

n = 4: 0.0005208 ≥ 0.0001
n = 5: 4.34 × 10⁻⁵ < 0.0001

Darjah terkecil

n = 5

Jawapan

n = 5
5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: Duf = −39.66

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Kecerunan pada titik itu

fx = −6xy − 12x² − 4y → fx(1, −2) = 8
fy = −3x² + 15y² − 4x → fy(1, −2) = 53

Vektor unit

|v| = √(2² + (−3)²) = 3.606
u = (0.5547, −0.8321)

Hasil darab titik

Duf = 8·0.5547 + 53·(−0.8321) = −39.66

Jawapan

Duf = −39.66
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: I = 2.389

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Bentuk kutub

I = ∫02π ∫0.52 e−r²·r dr dθ

Kamirkan

∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 2.389

Jawapan

I = 2.389
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 10.36 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 22 + (−19)·e−0.07t

Gantikan t

T(7) = 22 + (−19)·0.6126 = 10.36 °C

Jawapan

T = 10.36 °C
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 2.333

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e∫2/x dx = x2

Kamirkan

(x2y)′ = 4x2 → x2y = 4x3/3 + C

Syarat awal

0 = 4/3 + C → C = −1.333

Nilaikan

y(2) = (4·23/3 + (−1.333))/22 = 2.333

Jawapan

y(2) = 2.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2