Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy01

Nilaikan I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
2.KamiranSukar
xy−22

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²
A =
3.Jujukan & siriSederhana
xx₀ = −2??R

Siri kuasa Σk=1∞ k²·5ᵏ·(x + 2)ᵏ menumpu pada selang di sekitar x₀ = −2. Cari hujung kiri x selang itu.

Σ k²·5ᵏ·(x + 2)ᵏx₀ = −2
x =
4.Jujukan & siriSukar

f(x) = ln(1 + x) dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 4 pada x = 0.2. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 4! = 24 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₄|.

f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0.2M = 24
|R₄| =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana

z = −3x³y³ − 2x³ − y² + 4xy dengan x = t − 2 dan y = −t² − 1. Gunakan petua rantai untuk mencari dz/dt pada t = −1.

z = −3x³y³ − 2x³ − y² + 4xyx = t − 2y = −t² − 1t = −1
dz/dt =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy2

Gunakan koordinat kutub untuk menilai I = ∬R √(x² + y²) dA, dengan R ialah separuh atas cakera x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)16Ta​40 °C64 °C

Secawan kopi pada 80 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 24 °C. Selepas 16 min suhunya ialah 40 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 64 °C?

T0 = 80 °CTa = 24 °CT(16) = 40 °CT = 64 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
ty1.5y(1.5) = ?

Selesaikan y′ + 3y = 8e−0.5t dengan y(0) = 5. Cari y(1.5).

y′ + 3y = 8e−0.5ty(0) = 5
y(1.5) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 2.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333

Jawapan

I = 2.333
2.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67
3.Jujukan & siri

Jawapan: x = −2.2

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pekali

ck/ck+1 = (1/5)·(k/(k + 1))² → 1/5

Jejari

R = 0.2

Selang

−2.2 < x < −1.8
x = −2.2

Jawapan

x = −2.2

Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.

4.Jujukan & siri

Jawapan: |R₄| = 6.4 × 10⁻⁵

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had pada terbitan

M = 4! = 24

Had Lagrange

|R₄| ≤ 24·0.2⁵/5! = 6.4 × 10⁻⁵

Jawapan

|R₄| = 6.4 × 10⁻⁵

Ralat sebenar lebih kecil: |f(0.2) − P₄(0.2)| = 5.489 × 10⁻⁵.

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: dz/dt = 2514

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Titik dan kadar

x(−1) = −3, y(−1) = −2
dx/dt = 1, dy/dt = −2t = 2

Terbitan separa

fx = −9x²y³ − 6x² + 4y = 586
fy = −9x³y² − 2y + 4x = 964

Petua rantai

dz/dt = 586·1 + 964·2 = 2514

Jawapan

dz/dt = 2514
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: I = 8.378

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Bentuk kutub

I = ∫0π ∫02 r·r dr dθ

Kamirkan

∫ r·r dr = [r³/3]
I = 8.378

Jawapan

I = 8.378
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 4.297 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(56/16)/16 = 0.0783 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(56/40)/0.0783 = 4.297 min

Jawapan

t = 4.297 min
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 1.532

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e3t
(e3ty)′ = 8e2.5t

Penyelesaian am

y = 8/2.5·e−0.5t + C·e−3t = 3.2·e−0.5t + C·e−3t

Syarat awal

5 = 3.2 + C → C = 1.8

Nilaikan

y(1.5) = 3.2·0.4724 + 1.8·0.01111 = 1.532

Jawapan

y(1.5) = 1.532

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2