Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Terbitan arah: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Ujian terbitan kedua: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Koordinat kutub: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (f_x, f_y) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
Untuk ekstrem selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = f_xx·f_yy − f_xy².
Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² e^0.5x dx.

f(x) = e^0.5x[0, 2]

I =

2.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

3.Jujukan & siriSederhana

Gunakan ujian punca pada Σ_k=1^∞ ((3k + 4)/(2k + 3))ᵏ. Cari L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((3k + 4)/(2k + 3))ᵏ

L =

4.Jujukan & siriSukar

f(x) = sin x dianggarkan pada x = 0.5 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁶.

f(x) = sin xx = 0.5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana

z = −3xy − 3x² − 5y² dengan x = 2t + 1 dan y = −2t² − 2. Gunakan petua rantai untuk mencari dz/dt pada t = −1.

z = −3xy − 3x² − 5y²x = 2t + 1y = −2t² − 2t = −1

dz/dt =

6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 4y mempunyai titik genting pada (3, 2). Hitung pembezalayan D = f_xxf_yy − f_xy² di situ.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 4yP = (3, 2)

D =

7.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 340 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 25 °C. Selepas 12 min suhunya ialah 198 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 77 °C?

T₀ = 340 °CT_a = 25 °CT(12) = 198 °CT = 77 °C

t = min

8.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 2y′ + 26y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.25); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.25) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 3.437

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^0.5x/0.5

Nilaikan pada had

I = (e¹ − 1)/0.5 = (2.718 − 1)/0.5 = 3.437

Jawapan

I = 3.437

2.Kamiran

Jawapan: A = 4.5

Titik persilangan

x² = 3x → x = 0, x = 3

Kamirkan atas tolak bawah

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

Jawapan

A = 4.5

3.Jujukan & siri

Jawapan: L = 1.5

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Punca sebutan

|a_k|^1/k = (3k + 4)/(2k + 3) → 3/2

Kesimpulan

L = 1.5 > 1

Jawapan

L = 1.5

L > 1, maka siri itu mencapah.

4.Jujukan & siri

Jawapan: n = 7

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had untuk n yang meningkat

n = 6: 1.55 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 7: 9.688 × 10⁻⁸ < 1 × 10⁻⁶

Darjah terkecil

n = 7

Jawapan

n = 7

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: dz/dt = 208

Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah D_uf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Titik dan kadar

x(−1) = −1, y(−1) = −4

dx/dt = 2, dy/dt = −4t = 4

Terbitan separa

f_x = −3y − 6x = 18

f_y = −3x − 10y = 43

Petua rantai

dz/dt = 18·2 + 43·4 = 208

Jawapan

dz/dt = 208

6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: D = 36

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai f_x = f_y = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 dan f_xx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan f_xx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Terbitan kedua

f_xx = −18, f_yy = −2, f_xy = 0

Pembezalayan

D = (−18)·(−2) − 0² = 36

→ maksimum tempatan

Jawapan

D = 36

7.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 36.07 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(315/173)/12 = 0.04994 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(315/52)/0.04994 = 36.07 min

Jawapan

t = 36.07 min

8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.25) = 0.3934

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca kompleks

r = −1 ± 5j

Pemalar

A = 1, B = 1·1/5 = 0.2

Nilaikan

y(0.25) = e^−0.25(1·cos 1.25 + 0.2·sin 1.25) = 0.3934

Jawapan

y(0.25) = 0.3934

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2