Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy02

Nilaikan I = ∫02 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 2]
I =
2.KamiranSukar
xy−33

Cari luas A kawasan antara parabola y = 9 − x² dan paksi-x.

y = 9 − x²
A =
3.Jujukan & siriSederhana
kSn​12345678910S = ?

Cari hasil tambah S = Σk=1∞ 6/(k(k + 4)).

ak = 6/(k(k + 4))
S =
4.Jujukan & siriSukar
xyfP₅2

Gunakan polinomial Maclaurin berdarjah 5 bagi f(x) = sin(−x) untuk menganggarkan f(2). Beri P₅(2).

f(x) = sin(−x)n = 5x = 2
P₅(2) =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana

z = −2x³y + x² − y² + 4xy dengan x = 3t − 1 dan y = −t² + 1. Gunakan petua rantai untuk mencari dz/dt pada t = 0.

z = −2x³y + x² − y² + 4xyx = 3t − 1y = −t² + 1t = 0
dz/dt =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

Cari titik genting bagi f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y, kelaskannya, dan beri nilai fmin bagi f pada minimum tempatannya.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y
fmin =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)12Ta​49 °C

Secawan kopi pada 88 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 19 °C. Selepas 12 min suhunya ialah 49 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T0 = 88 °CTa = 19 °CT(12) = 49 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan pembezaanSukar
ty0.5y(0.5) = ?

Selesaikan y′ + 2y = 6e−0.5t dengan y(0) = 2. Cari y(0.5).

y′ + 2y = 6e−0.5ty(0) = 2
y(0.5) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 0.8647

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e−x/(−1)

Nilaikan pada had

I = (e−2 − 1)/(−1) = (0.1353 − 1)/(−1) = 0.8647

Jawapan

I = 0.8647
2.Kamiran

Jawapan: A = 36

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

9 − x² = 0 → x = ±3

Kamirkan

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Jawapan

A = 36
3.Jujukan & siri

Jawapan: S = 3.125

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

6/(k(k + 4)) = (6/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Batal

S = (6/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 3.125

Jawapan

S = 3.125
4.Jujukan & siri

Jawapan: P₅(2) = −0.9333

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Polinomial Maclaurin

P₅(x) = −x + 0.1667x³ − 0.008333x⁵

Gantikan

P₅(2) = −2 + 1.333333 − 0.266667 = −0.9333

Jawapan

P₅(2) = −0.9333

Nilai tepat ialah f(2) = −0.909297; ralat 0.0240359 mengecil apabila anda mengambil lebih banyak sebutan atau titik yang lebih dekat dengan 0.

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: dz/dt = −12

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Titik dan kadar

x(0) = −1, y(0) = 1
dx/dt = 3, dy/dt = −2t = 0

Terbitan separa

fx = −6x²y + 2x + 4y = −4
fy = −2x³ − 2y + 4x = −4

Petua rantai

dz/dt = (−4)·3 + (−4)·0 = −12

Jawapan

dz/dt = −12
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: fmin = −6

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik genting

Selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama.

fx = (3x² − 3) = 0
fy = (2y − 4) = 0
(1, 2), (−1, 2)

Ujian terbitan kedua

(1, 2): fxx = 6, fyy = 2, fxy = 0, D = 12 → minimum tempatan
(−1, 2): fxx = −6, fyy = 2, fxy = 0, D = −12 → titik pelana

Nilai pada ekstrem

f(1, 2) = −6

Jawapan

fmin = −6
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.06941 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e−12k = 30/69

Selesaikan untuk k

k = ln(69/30)/12 = 0.06941 min⁻¹

Jawapan

k = 0.06941 min⁻¹
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.5) = 2.379

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e2t
(e2ty)′ = 6e1.5t

Penyelesaian am

y = 6/1.5·e−0.5t + C·e−2t = 4·e−0.5t + C·e−2t

Syarat awal

2 = 4 + C → C = −2

Nilaikan

y(0.5) = 4·0.7788 + (−2)·0.3679 = 2.379

Jawapan

y(0.5) = 2.379

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2