Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy210

Nilaikan I = ∫210 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 10]
I =
2.KamiranSukar
xy2y = 6xy = 3x²

Rantau antara garis y = 6x dan parabola y = 3x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 6xy = 3x²
V =
3.Jujukan & siriSederhana
xx₀ = 3??R

Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σk=1∞ (x − 3)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ).

Σ (x − 3)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ)x₀ = 3
R =
4.Jujukan & siriSukar

f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 2 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 8, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁶.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana
xy−202−202vP

Bagi f(x, y) = y·exy, cari terbitan arah Duf pada (1, 0.5) dalam arah v = (−3, −2).

f(x, y) = y·exyP = (1, 0.5)v = (−3, −2)
Duf =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy3

Gunakan koordinat kutub untuk menilai I = ∬R e−(x² + y²) dA, dengan R ialah suku cakera x² + y² ≤ 9 dalam kuadran pertama.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)24Ta​49 °C

Secawan kopi pada 89 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 24 °C. Selepas 24 min suhunya ialah 49 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T0 = 89 °CTa = 24 °CT(24) = 49 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan pembezaanSukar
ty1.5y(1.5) = ?

Selesaikan y′ + y = 2e−2t dengan y(0) = 3. Cari y(1.5).

y′ + y = 2e−2ty(0) = 3
y(1.5) =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 8.047

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 5·ln x

Nilaikan pada had

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8.047

Jawapan

I = 8.047
2.Kamiran

Jawapan: V = 120.6

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Kaedah sesendal

V = π∫₀2 ((6x)² − (3x²)²) dx

Kamirkan

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6

Jawapan

V = 120.6
3.Jujukan & siri

Jawapan: R = 0.5

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pekali

ck/ck+1 = (1/2)·((k + 1)/k)² → 0.5

Jejari

R = 0.5

Jawapan

R = 0.5

Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.

4.Jujukan & siri

Jawapan: n = 14

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

n(n + 1)!had3245.33341202.13357200.7111650400.20327403200.0507983628800.01129936288000.00225710399168000.0004105114790016006.841 × 10⁻⁵1262270208001.052 × 10⁻⁵13871782912001.503 × 10⁻⁶1413076743680002.005 × 10⁻⁷

Had untuk n yang meningkat

n = 13: 1.503 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 14: 2.005 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Darjah terkecil

n = 14

Jawapan

n = 14
5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: Duf = −1.715

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Kecerunan pada titik itu

fx = y²exy → fx(1, 0.5) = 0.4122
fy = exy(1 + xy) → fy(1, 0.5) = 2.473

Vektor unit

|v| = √((−3)² + (−2)²) = 3.606
u = (−0.8321, −0.5547)

Hasil darab titik

Duf = 0.4122·(−0.8321) + 2.473·(−0.5547) = −1.715

Jawapan

Duf = −1.715
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: I = 0.7853

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Bentuk kutub

I = ∫0π/2 ∫03 e−r²·r dr dθ

Kamirkan

∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 0.7853

Jawapan

I = 0.7853
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.03981 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e−24k = 25/65

Selesaikan untuk k

k = ln(65/25)/24 = 0.03981 min⁻¹

Jawapan

k = 0.03981 min⁻¹
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 1.016

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = et
(ety)′ = 2e−t

Penyelesaian am

y = 2/(−1)·e−2t + C·e−t = −2·e−2t + C·e−t

Syarat awal

3 = −2 + C → C = 5

Nilaikan

y(1.5) = −2·0.04979 + 5·0.2231 = 1.016

Jawapan

y(1.5) = 1.016

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2