Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Kaedah

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana
xy02

Nilaikan I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.KamiranSukar
xyy = 0.5x2​y = 2x

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x2 dan y = 2x.

y = 0.5x2y = 2x
A =
3.Jujukan & siriSederhana
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

Gunakan ujian nisbah pada Σk=1∞ k!/kᵏ. Cari L = lim |ak+1/ak|.

ak = k!/kᵏ
L =
4.Jujukan & siriSukar

Kenali siri itu dan cari hasil tambahnya: S = Σk=1∞ k·0.2ᵏ.

ak = k·0.2ᵏ
S =
5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana
xy3−2P

Satah tangen kepada z = xy³ + 4x² + 2xy pada titik yang (x, y) = (3, −2) boleh ditulis sebagai z = px + qy + c. Cari c.

f(x, y) = xy³ + 4x² + 2xy(a, b) = (3, −2)
c =
6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Cari titik genting bagi f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, kelaskannya, dan beri nilai fmin bagi f pada minimum tempatannya.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)13Ta​55 °C

Secawan kopi pada 88 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 18 °C. Selepas 13 min suhunya ialah 55 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T0 = 88 °CTa = 18 °CT(13) = 55 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan pembezaanSukar
t (min)m (kg)95 minm = ?

Sebuah tangki mengandungi 500 L air yang di dalamnya terlarut 5 kg garam. Air garam dengan 0.05 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 95 min?

V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 41.33

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33

Jawapan

I = 41.33
2.Kamiran

Jawapan: A = 5.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Titik persilangan

0.5x2 = 2x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x2 − 0.1667x3]04 = 5.333

Jawapan

A = 5.333
3.Jujukan & siri

Jawapan: L = 0.3679

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Nisbah sebutan berturutan

|ak+1/ak| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

Kesimpulan

L = 0.3679 < 1

Jawapan

L = 0.3679

L < 1, maka siri itu menumpu.

4.Jujukan & siri

Jawapan: S = 0.3125

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Siri piawai

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

Gantikan

x = 0.2
S = 0.2/(1 − 0.2)² = 0.3125

Jawapan

S = 0.3125
5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: c = 48

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Nilai dan cerun pada titik itu

f(3, −2) = 0
fx = y³ + 8x + 2y → fx(3, −2) = 12
fy = 3xy² + 2x → fy(3, −2) = 42

Satah tangen

z = 0 + 12(x − 3) + 42(y + 2)
z = 12x + 42y + 48

Sebutan malar

c = 48

Jawapan

c = 48
6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: fmin = −32

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik genting

Selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama.

fx = 4x³ − 16y = 0
fy = 4y³ − 16x = 0
(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

Ujian terbitan kedua

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −16, D = −256 → titik pelana
(2, 2): fxx = 48, fyy = 48, fxy = −16, D = 2048 → minimum tempatan
(−2, −2): fxx = 48, fyy = 48, fxy = −16, D = 2048 → minimum tempatan

Nilai pada ekstrem

f(−2, −2) = −32

Jawapan

fmin = −32
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.04904 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e−13k = 37/70

Selesaikan untuk k

k = ln(70/37)/13 = 0.04904 min⁻¹

Jawapan

k = 0.04904 min⁻¹
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 17.27 kg

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.05 − (5/500)·m = 0.25 − 0.01·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah ert/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 25 + (−20)·e−t/100

Gantikan t

m(95) = 25 + (−20)·0.3867 = 17.27 kg

Jawapan

m = 17.27 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2