Kalkulus 2: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multipemboleh ubah

Terbitan separa: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Terbitan arah: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Ujian terbitan kedua: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Koordinat kutub: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Kaedah

Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (f_x, f_y) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
Untuk ekstrem selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = f_xx·f_yy − f_xy².
Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

2.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

3.Jujukan & siriSederhana

Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.

A: Σ ln k / kB: Σ 1/√kC: Σ k/(k + 7)D: Σ k²/5ᵏ

1A: Σ ln k / k
2B: Σ 1/√k
3C: Σ k/(k + 7)
4D: Σ k²/5ᵏ

4.Jujukan & siriSukar

f(x) = cos x dianggarkan pada x = 1.5 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = cos xx = 1.5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.Kalkulus multipemboleh ubahSederhana

z = −3x³y³ + 3x² + 4y³ + 4xy dengan x = −3t − 2 dan y = −2t² − 1. Gunakan petua rantai untuk mencari dz/dt pada t = 0.

z = −3x³y³ + 3x² + 4y³ + 4xyx = −3t − 2y = −2t² − 1t = 0

dz/dt =

6.Kalkulus multipemboleh ubahSukar

f(x, y) = −2x² − 2xy − y² + 6x + 4y mempunyai titik genting pada (1, 1). Hitung pembezalayan D = f_xxf_yy − f_xy² di situ.

f(x, y) = −2x² − 2xy − y² + 6x + 4yP = (1, 1)

D =

7.Persamaan pembezaanSederhana

Sekaleng minuman bergas pada 3 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 26 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.1 min⁻¹, cari suhunya T selepas 12 min.

T₀ = 3 °CT_a = 26 °Ck = 0.1 min⁻¹t = 12 min

T = °C

8.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 2y′ + 17y = 17 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Larutan

1.Kamiran

Jawapan: I = 2.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

Jawapan

I = 2.333

2.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

3.Jujukan & siri

Jawapan: D: Σ k²/5ᵏ

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Uji setiap siri

A: Σ ln k / k → Lebih besar daripada 1/k untuk k ≥ 3: mencapah melalui perbandingan dengan siri harmonik.

B: Σ 1/√k → Siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1: mencapah.

C: Σ k/(k + 7) → Sebutan menuju 1, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.

D: Σ k²/5ᵏ → Ujian nisbah: L = 1/5 < 1, menumpu.

Jawapannya

D: Σ k²/5ᵏ

Jawapan

D: Σ k²/5ᵏ

4.Jujukan & siri

Jawapan: n = 10

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had untuk n yang meningkat

n = 9: 1.589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 10: 2.167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Darjah terkecil

n = 10

Jawapan

n = 10

5.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: dz/dt = −60

Kecerunan: ∇f = (f_x, f_y) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah D_uf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Titik dan kadar

x(0) = −2, y(0) = −1

dx/dt = −3, dy/dt = −4t = 0

Terbitan separa

f_x = −9x²y³ + 6x + 4y = 20

f_y = −9x³y² + 12y² + 4x = 76

Petua rantai

dz/dt = 20·(−3) + 76·0 = −60

Jawapan

dz/dt = −60

6.Kalkulus multipemboleh ubah

Jawapan: D = 4

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai f_x = f_y = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 dan f_xx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan f_xx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Terbitan kedua

f_xx = −4, f_yy = −2, f_xy = −2

Pembezalayan

D = (−4)·(−2) − (−2)² = 4

→ maksimum tempatan

Jawapan

D = 4

7.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 19.07 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 26 + (−23)·e^−0.1t

Gantikan t

T(12) = 26 + (−23)·0.3012 = 19.07 °C

Jawapan

T = 19.07 °C

8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 1.456

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

y_ss = 1, r = −1 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0.25

Puncak

t = π/4 = 0.7854

y_max = 1·(1 + e^−1·π/4) = 1.456

Jawapan

y_max = 1.456

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2