Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1010 1011 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1010 10118 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1001 0101 XOR 1011 1001. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1001 0101XOR1011 1001

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan ¬r → ¬p secara percanggahan. Pernyataan manakah yang anda andaikan pada permulaan? Klik pernyataan itu.

¬r → ¬p

1¬¬r ∧ ¬¬p
2¬¬r → ¬¬p
3¬r ∧ ¬¬p
4¬¬r ∧ ¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis (r ∧ p) → q; r; ¬q diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

(r ∧ p) → qr¬q

1q
2p
3p ∧ ¬q
4¬p

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Dalam peta Karnaugh ini tepat satu 1 tidak mempunyai 1 yang berjiran, maka ia kekal sebagai kumpulan satu sel (minterm penuh empat literal) dalam bentuk SOP minimum. Jiran merentasi tepi peta dikira. Klik sel itu.

F = Σm(0, 3, 5, 8, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 8, 12, 14, 15) + d(3, 9), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 8, 12, 14, 15) + d(3, 9)

L =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 8 modulo 53: nombor x dengan 0 < x < 53 dan 8·x ≡ 1 (mod 53).

a = 8n = 53

8⁻¹ mod 53 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

43 ialah nombor perdana. Gunakan teorem kecil Fermat untuk mencari 17⁴²⁰¹⁹ mod 43.

p = 43k = 42019

17⁴²⁰¹⁹ mod 43 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa algoritma Bellman–Ford pada graf dengan V bucu dan E sisi?

AO(V × E)
BO(V³ × E)
CO(E log V)
DO(V + E)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Teknik manakah yang memberikan masa larian dijangka O(n log n) bagi isihan pantas pada sebarang input?

AMengisih input sebelum menjalankan isihan pantas
BMemilih pangsi secara seragam rawak
CMenggunakan rekursi pada sebelah kiri sahaja
DSentiasa memilih elemen pertama

11.Struktur dataSederhana

Aplikasi memerlukan carian pantas dan juga perlu menyenaraikan kunci dalam susunan tersusun dan menjawab pertanyaan julat. Struktur manakah yang paling sesuai?

ATindanan
BPokok carian binari seimbang
CSenarai berpaut tidak tersusun
DJadual cincang

12.Struktur dataSukar

Bagaimanakah pokok radix (trie termampat) memperbaiki trie biasa?

AIa menyimpan setiap perkataan dalam jadual cincang di akar dan bukannya dalam nod berasingan
BIa hanya menyimpan huruf pertama setiap perkataan
CIa menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan
DIa menyusun anak setiap nod mengikut kekerapan

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 12

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Mengapakah indeks dicipta pada lajur?

AUntuk mempercepat carian dan cantuman pada lajur itu
BUntuk mencegah nilai NULL
CUntuk menjimatkan ruang cakera
DUntuk mempercepat sisipan dan kemas kini pada lajur itu

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah yang dikehendaki oleh peraturan pengelogan tulis-dahulu (WAL)?

ARekod log bagi perubahan mesti sampai ke storan stabil sebelum halaman data yang berubah
BSetiap pertanyaan mesti dilog sebelum dihuraikan
CLog ditulis hanya selepas kerosakan
DHalaman data mesti ditulis sebelum log

17.Rangkaian komputerSederhana

Jenis rekod DNS manakah yang memetakan nama hos kepada alamat IPv6?

AA
BCNAME
CAAAA
DMX

18.Rangkaian komputerSukar

Hos dalam VLAN 10 dan VLAN 20 pada suis yang sama tidak dapat berkomunikasi. Apakah yang diperlukan?

AHab yang disambungkan kepada kedua-dua VLAN
BAlamat MAC yang sama pada kedua-dua hos
CKabel yang lebih panjang antara hos
DPenghala atau suis lapisan 3 untuk menghalakan antara VLAN

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 10 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/2410 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah penghala mempunyai laluan ke rangkaian ini: 10.242.173.0/24, 10.242.174.0/24, 10.242.175.0/24. Berapakah panjang awalan terpanjang p bagi satu laluan ringkasan yang meliputi kesemuanya?

10.242.173.0/24 … 10.242.175.0/24

p =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −85

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 32 + 8 + 2 + 1 = −85

Jawapan

N = −85

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 44

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1001 0101

XOR 1011 1001

= 0010 1100

Nilai hasil

0010 1100₂ = 44

Jawapan

R = 44

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r ∧ ¬¬p

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = ¬r, b = ¬p

Penafian implikasi

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬r ∧ ¬¬p

Jawapan

¬r ∧ ¬¬p

Jika andaian membawa kepada percanggahan, implikasi itu mestilah benar.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬p

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 0, q = 0, r = 1: q = 0, p = 0, p ∧ ¬q = 0, ¬p = 1

Kesimpulan

¬p (modus tollens dengan konjungsi)

Jawapan

¬p

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: AB = 00, CD = 11

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Jiran bagi setiap 1

1 yang mempunyai jiran 1 boleh menyertai kumpulan dua atau lebih.

m3: m2, m1, m7, m11 → 0

1 yang terpencil

m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11

Jawapan

AB = 00, CD = 11

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 13

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

AC′D′, ABD′, A′B′C, AB′C′, ABC, A′BC′D

Liputan minimum

F = AC′D′ + A′B′C + ABC + A′BC′D

L = 13

Jawapan

L = 13

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 8⁻¹ mod 53 = 20

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·8 (mod 53).

r = 53, t = 0

r = 8, q = 6, t = 1

r = 5, q = 1, t = −6

r = 3, q = 1, t = 7

r = 2, q = 1, t = −13

r = 1, q = 2, t = 20

Songsangan

1 ≡ 20·8 (mod 53)

x = 20

semakan: 8·20 = 160 = 3·53 + 1

Jawapan

8⁻¹ mod 53 = 20

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 17⁴²⁰¹⁹ mod 43 = 25

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

C · Ia menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan

13.Teori graf

Jawapan: Litar Euler

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Bucu ganjil

Litar Euler

Jawapan

Litar Euler

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 15

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 3, C: 5

B (3): D: 10, G: 7

C (5): E: 17

G (7)

D (10): F: 15

F (15)

E (17)

Laluan terpendek

A → B → D → F

Bit untuk dipinjam

2⁴ = 16 ≥ 10 → b = 4, /28

Hos bagi setiap subnet

2⁴ − 2 = 14

Jawapan

H = 14

20.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Peringkasan laluan: laluan ringkasan a.b.c.0/p meliputi semua rangkaian yang p bit pertamanya sepadan. Tulis oktet yang berbeza bagi rangkaian pertama dan terakhir dalam binari; bilangan bit di hadapan yang sama, campur bit oktet sebelumnya, ialah awalan ringkasan terpanjang.

Bandingkan bit

173 = 10101101

175 = 10101111

bit di hadapan yang sama: 6

Panjang awalan

p = 16 + 6 = 22

Jawapan

p = /22

Laluan ringkasan: 10.242.172.0/22 (ia juga meliputi 1 rangkaian yang tiada dalam senarai).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals