Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1100 1010 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1100 10108 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 1024 × 768 piksel dengan 16 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

1024 × 768 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah (q → p) ∨ (p → q) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

(q → p) ∨ (p → q)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ¬((¬(¬q ∧ r) ∧ (s ↔ q)) ∧ ¬((r ∨ p) ∨ s)) benar? Panggil nombor ini N.

¬((¬(¬q ∧ r) ∧ (s ↔ q)) ∧ ¬((r ∨ p) ∨ s))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = C′, I₁ = 1, I₂ = 0, I₃ = 0. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = C′I₁ = 1I₂ = 0I₃ = 0

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang Johnson 4-bit Q₃Q₂Q₁Q₀ bermula pada 0000. Pada setiap pinggir jam bit beranjak satu tempat ke kanan (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) dan Q₃ menerima songsangan Q₀. Beri keadaan Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ sebagai nombor perpuluhan selepas 4 pinggir jam.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00004

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 37 modulo 47: nombor x dengan 0 < x < 47 dan 37·x ≡ 1 (mod 47).

a = 37n = 47

37⁻¹ mod 47 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 59⁵⁰ mod 73.

a = 59k = 50n = 73

59⁵⁰ mod 73 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma manakah yang mencari laluan terpendek dari satu sumber dalam graf dengan pemberat sisi tidak negatif?

ABellman–Ford diperlukan dalam semua kes
BCarian pertama dalam
CAlgoritma Kruskal
DAlgoritma Dijkstra

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lakukan kerja O(1)?

AO(n)
BO(n log n)
CO(n √n)
DO(n²)

11.Struktur dataSederhana

Pokok AVL dan pokok merah-hitam menjamin:

AKunci disimpan mengikut susunan sisipan
BTiada nod mempunyai dua anak
CCarian masa malar dalam setiap kes
DKetinggian O(log n) melalui pengimbangan semula

12.Struktur dataSukar

Struktur manakah yang membolehkan anda mengira maksimum setiap tetingkap bersaiz k dalam tatasusunan dalam jumlah O(n)?

ADeque yang menyimpan indeks mengikut susunan nilai menurun
BTatasusunan tersusun yang dikemas kini dengan menganjak
CSenarai berpaut tunggal elemen tetingkap
DTimbunan min yang dibina semula bagi setiap tetingkap

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 3, 2 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 32 × deg 5

L =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(G) laluan terpendek dari A ke G dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: G

d(G) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT SUM(amount) FROM orders apabila klausa WHERE tidak sepadan dengan sebarang baris?

ANULL
BRentetan kosong
C0
DRalat

16.Pangkalan data & SQLSukar

Mengapakah NATURAL JOIN dianggap berisiko dalam pertanyaan pengeluaran?

AIa tidak disokong oleh sebarang pangkalan data
BIa mencantumkan pada setiap lajur yang bernama sama, maka lajur baharu boleh mengubah hasil secara senyap
CIa mengabaikan kunci utama dan asing dan hanya mengekalkan baris NULL
DIa sentiasa memulangkan hasil darab Cartesian

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang mengenal pasti secara unik satu hujung sambungan TCP di internet?

ATopeng subnet dan get laluan
BAlamat IP bersama nombor port
CNama domain sahaja
DAlamat MAC sahaja

18.Rangkaian komputerSukar

Menurut formula Nyquist, apakah kadar bit maksimum saluran 3 kHz tanpa hingar yang menggunakan 4 aras isyarat?

A12 kbit/s
B24 kbit/s
C6 kbit/s
D3 kbit/s

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 4 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/244 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.7.107/27. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.7.107/27

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −54

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 8 + 2 = −54

Jawapan

N = −54

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 1536 KiB

Bit dan bait

1024·768·16 = 12582912 bit = 1572864 B

Tukar kepada KiB

1572864/1024 = 1536 KiB

Jawapan

M = 1536 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: tautologi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1: q → p = 1, p → q = 1, (q → p) ∨ (p → q) = 1

p = 1, q = 0: q → p = 1, p → q = 0, (q → p) ∨ (p → q) = 1

p = 0, q = 1: q → p = 0, p → q = 1, (q → p) ∨ (p → q) = 1

p = 0, q = 0: q → p = 1, p → q = 1, (q → p) ∨ (p → q) = 1

Kelaskan

(q → p) ∨ (p → q): 1, 1, 1, 1

1 dalam setiap baris: tautologi.

Jawapan

tautologi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 15

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬q; ¬q ∧ r; ¬(¬q ∧ r); s ↔ q; ¬(¬q ∧ r) ∧ (s ↔ q); r ∨ p; (r ∨ p) ∨ s; ¬((r ∨ p) ∨ s); (¬(¬q ∧ r) ∧ (s ↔ q)) ∧ ¬((r ∨ p) ∨ s); ¬((¬(¬q ∧ r) ∧ (s ↔ q)) ∧ ¬((r ∨ p) ∨ s))

Pecahkan pada p

p = 1: 8

p = 0: 7

N = 8 + 7 = 15

Jawapan

N = 15

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′C′ + A′B

Baris dengan F = 1

ABC = 000, 010, 011

N = 3

Jawapan

N = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 15

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Keadaan selepas setiap pinggir

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111

Nilai perpuluhan

1111₂ = 15

Jawapan

Q = 15

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 37⁻¹ mod 47 = 14

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·37 (mod 47).

r = 47, t = 0

r = 37, q = 1, t = 1

r = 10, q = 3, t = −1

r = 7, q = 1, t = 4

r = 3, q = 2, t = −5

r = 1, q = 3, t = 14

Songsangan

1 ≡ 14·37 (mod 47)

x = 14

semakan: 37·14 = 518 = 11·47 + 1

Jawapan

37⁻¹ mod 47 = 14

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 59⁵⁰ mod 73 = 35

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen perduaan

50 = 110010₂ = 32 + 16 + 2

Kuasa dua berulang

59¹ ≡ 59 (mod 73)

59² ≡ 50 (mod 73)

59⁴ ≡ 18 (mod 73)

A · Deque yang menyimpan indeks mengikut susunan nilai menurun

13.Teori graf

Jawapan: L = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 19 = 2(L + 5) − 2

L = 11

Jawapan

L = 11

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: d(G) = 6

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 4, C: 3

C (3): E: 5

B (4): G: 9

E (5): D: 17, F: 14, G: 6

G (6)

F (14)

D (17)

Laluan terpendek

A → C → E → G

Bit untuk dipinjam

2² = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

Hos bagi setiap subnet

2⁶ − 2 = 62

Jawapan

H = 62

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 96

Saiz blok

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊107/32⌋·32 = 96

siaran: 96 + 32 − 1 = 127

hos boleh guna: 97 … 126

Jawapan

x = 96

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals