Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −52 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −528 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1011 0010 XOR 1101 1100. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1011 0010XOR1101 1100

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan ¬r → (p ∨ q) secara percanggahan. Pernyataan manakah yang anda andaikan pada permulaan? Klik pernyataan itu.

¬r → (p ∨ q)

1¬¬r → ¬(p ∨ q)
2¬r ∧ ¬(p ∨ q)
3¬¬r ∧ ¬(p ∨ q)
4¬¬r ∧ (p ∨ q)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis p → r; q → r dan kesimpulan p → q adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

p → rq → r∴ p → q

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = ABC + AC′ + A′B kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = ABC + AC′ + A′B

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop D dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 6 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0D

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 3 (mod 4) dan x ≡ 1 (mod 5).

x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 1 (mod 5)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 7²⁷ mod 73.

a = 7k = 27n = 73

7²⁷ mod 73 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah masa larian isihan radiks LSD pada n integer dengan d digit dalam asas k?

AO(n²)
BO(d(n + k))
CO(n log n)
DO(dn log k)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Dua perkara manakah yang mesti ditunjukkan untuk membuktikan bahawa masalah keputusan X ialah NP-lengkap?

AX dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
BX dalam P, dan X boleh diturunkan kepada SAT
CX boleh diturunkan kepada masalah dalam P, dan X dalam NP
DX tiada algoritma polinomial, dan X boleh diputuskan

11.Struktur dataSederhana

Dalam baris gilir bulat yang disimpan dalam tatasusunan berkapasiti n, bagaimanakah kedudukan seterusnya selepas indeks i dikira?

A(i + 1) mod n
B2i + 1
Ci + 1
D(i − 1) mod n

12.Struktur dataSukar

Dalam algoritma pokok rentang minimum Kruskal, untuk apakah struktur union-find digunakan?

AMenyimpan jarak semasa setiap bucu dari sumber semasa carian
BMenyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung
CMengisih sisi mengikut pemberat
DMemilih bucu permulaan

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₅? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₅

H =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Jadual menyimpan alamat pelanggan pada setiap baris pesanan. Mengubah alamat dalam satu baris tetapi tidak dalam yang lain ialah contoh:

AAnomali sisipan
BAnomali pemadaman
CAnomali kemas kini
DBacaan hantu

16.Pangkalan data & SQLSukar

x ialah NULL dan y = 1. Apakah nilai syarat (x > 5 OR y = 1)?

AFALSE
BUNKNOWN
CTRUE
DNULL, maka baris sentiasa ditolak

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah UDP sering dipilih untuk panggilan video langsung?

AKelewatan rendah lebih penting daripada menghantar semula setiap paket yang hilang
BUDP menjamin setiap paket sampai, jadi gambar tidak pernah beku
CUDP diperlukan untuk semua video
DUDP menyulitkan data secara automatik

18.Rangkaian komputerSukar

Bagaimanakah pemecahan (fragmentation) dalam IPv6 berbeza daripada IPv4?

AIPv6 tidak membenarkan paket lebih besar daripada 576 bait
BPenghala tidak pernah memecahkan paket IPv6; hanya sumber boleh, menggunakan penemuan MTU laluan
CIPv6 memecahkan pada lapisan pengangkutan dalam TCP
DPenghala IPv6 memecahkan setiap paket yang lebih besar daripada 64 bait sebelum memajukannya di sepanjang laluan

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 507 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

507 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.13.217/26. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.13.217/26

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 204

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

52 = 0011 0100

disongsangkan: 1100 1011

+1 → 1100 1100

Baca sebagai tanpa tanda

1100 1100₂ = 256 − 52 = 204

Jawapan

U = 204

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 110

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1011 0010

XOR 1101 1100

= 0110 1110

Nilai hasil

0110 1110₂ = 110

Jawapan

R = 110

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r ∧ ¬(p ∨ q)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = ¬r, b = p ∨ q

Penafian implikasi

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬r ∧ ¬(p ∨ q)

Jawapan

¬r ∧ ¬(p ∨ q)

Jika andaian membawa kepada percanggahan, implikasi itu mestilah benar.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p = 1, q = 0, r = 1

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 0

p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

p = 1, q = 0, r = 1

Jawapan

p = 1, q = 0, r = 1

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 3

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

ABC → m(7)

AC′ → m(4, 6)

A′B → m(2, 3)

Kumpulkan dan baca

F = B + AC′

Kira literal

L = 3

Jawapan

L = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop D menyalin D pada setiap pinggir menaik: Q⁺ = D.

1: D = 0 → Q = 0

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 0 → Q = 0

Kira perubahan

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 0

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 11

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 3 + 4k

Kongruen kedua

3 + 4k ≡ 1 (mod 5) → 4k ≡ 3 (mod 5)

k ≡ 4·3 ≡ 2 (mod 5)

Keputusan

x = 3 + 4·2 = 11

x = 11

semakan: 11 mod 4 = 3, 11 mod 5 = 1

Jawapan

x = 11

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 7²⁷ mod 73 = 51

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen perduaan

27 = 11011₂ = 16 + 8 + 2 + 1

Kuasa dua berulang

7¹ ≡ 7 (mod 73)

7² ≡ 49 (mod 73)

B · Menyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung

13.Teori graf

Jawapan: H = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Jawapan

H = 12

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 39

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 15, C: 15

B (15): D: 22, G: 25

C (15): E: 24

D (22)

E (24): F: 39

G (25)

F (39)

Laluan terpendek

A → C → E → F

Bit hos yang diperlukan

2⁸ − 2 = 254 < 507

2⁹ − 2 = 510 ≥ 507 → h = 9

Panjang awalan

p = 32 − 9 = 23

Jawapan

p = /23

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 255

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊217/64⌋·64 = 192

siaran: 192 + 64 − 1 = 255

hos boleh guna: 193 … 254

Jawapan

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals