Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −10 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −108 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1010 1110 XOR 1110 1110. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1010 1110XOR1110 1110

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan c ↔ b? Klik formula itu.

c ↔ b

1(c → b) ∧ (b → c)
2(c → b) ∨ (b → c)
3(c → b) ∧ (¬b → ¬c)
4c ∧ b

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ¬((¬d ∧ c) ∨ ¬c) ∨ ¬((¬a → ¬b) ↔ (d → a)) benar? Panggil nombor ini N.

¬((¬d ∧ c) ∨ ¬c) ∨ ¬((¬a → ¬b) ↔ (d → a))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8, 12, 14, 15). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8, 12, 14, 15)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 6, 9, 11) + d(1, 8), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 6, 9, 11) + d(1, 8)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 23 modulo 68: nombor x dengan 0 < x < 68 dan 23·x ≡ 1 (mod 68).

a = 23n = 68

23⁻¹ mod 68 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 8x ≡ 4 (mod 12). Beri penyelesaian positif terkecil x.

8x ≡ 4 (mod 12)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Berapa banyak peringkat yang ada pada rekursi isihan cantum bagi tatasusunan n elemen?

AKira-kira n
BKira-kira n / 2
CKira-kira √n
DKira-kira log₂ n

10.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma pengaturcaraan dinamik Held–Karp menyelesaikan masalah jurujual kembara dengan tepat. Apakah masa larinya untuk n bandar?

AO(2^n²)
BO(n² 2ⁿ)
CO(n!)
DO(n³)

11.Struktur dataSederhana

Kaedah penyelesaian perlanggaran manakah yang menyimpan kunci yang berlanggar dalam senarai pada baldi yang sama?

APencincangan berganda
BPenyiasatan kuadratik
CPerantaian berasingan (separate chaining)
DPenyiasatan linear

12.Struktur dataSukar

Tatasusunan dinamik berganda apabila penuh. Mengapakah banyak pelaksanaan mengecilkannya hanya apabila ia suku penuh, bukan separuh penuh?

AUntuk mengekalkan tatasusunan tersusun
BKerana membahagi dua pada separuh akan menghilangkan elemen
CUntuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
DKerana pengalokasi memori hanya boleh melepaskan memori dalam suku blok

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5

L =

14.Teori grafSukar

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 5; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 5

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi DF
8sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pandangan (view) dalam SQL ialah:

ASkrin dalam klien pangkalan data untuk menyemak imbas jadual
BJenis indeks
CPertanyaan tersimpan yang berfungsi seperti jadual maya
DSalinan jadual pada cakera

16.Pangkalan data & SQLSukar

Ciri SQL manakah yang paling sesuai untuk mencari setiap pekerja di bawah seorang pengurus dalam pokok organisasi berkedalaman tidak diketahui?

AKekangan UNIQUE pada manager_id
BUngkapan jadual lazim rekursif (WITH RECURSIVE)
CSatu cantuman kendiri jadual employees pada manager_id
DGROUP BY pada manager_id

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang mengenal pasti secara unik satu hujung sambungan TCP di internet?

ATopeng subnet dan get laluan
BAlamat MAC sahaja
CAlamat IP bersama nombor port
DNama domain sahaja

18.Rangkaian komputerSukar

Tembok api menyekat semua ICMP. Permintaan web kecil berfungsi, tetapi muat turun besar melalui sesetengah laluan tergantung. Apakah puncanya?

ATCP tidak dapat membuka sambungan tanpa ICMP
BDNS memerlukan ICMP untuk menyelesaikan nama
CPenemuan MTU laluan gagal kerana mesej "pemecahan diperlukan" disekat
DSijil TLS dihantar melalui ICMP

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 745 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

745 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.25.61/29. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.25.61/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 246

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

10 = 0000 1010

disongsangkan: 1111 0101

+1 → 1111 0110

Baca sebagai tanpa tanda

1111 0110₂ = 256 − 10 = 246

Jawapan

U = 246

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 64

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1010 1110

XOR 1110 1110

= 0100 0000

Nilai hasil

0100 0000₂ = 64

Jawapan

R = 64

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (c → b) ∧ (b → c)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a ↔ b bermaksud implikasi itu benar dalam kedua-dua arah: (a → b) ∧ (b → a).

c ↔ b ≡ (c → b) ∧ (b → c)

Semak dengan jadual kebenaran

b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

b = 1, c = 0: 0 | 0 1 1 0

b = 0, c = 1: 0 | 0 1 0 0

b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0

Jawapan

(c → b) ∧ (b → c)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 7

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬d; ¬d ∧ c; ¬c; (¬d ∧ c) ∨ ¬c; ¬((¬d ∧ c) ∨ ¬c); ¬a; ¬b; ¬a → ¬b; d → a; (¬a → ¬b) ↔ (d → a); ¬((¬a → ¬b) ↔ (d → a)); ¬((¬d ∧ c) ∨ ¬c) ∨ ¬((¬a → ¬b) ↔ (d → a))

Pecahkan pada a

a = 1: 2

a = 0: 5

N = 2 + 5 = 7

Jawapan

N = 7

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 15

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

BCD

AC′D′

A′B′D

ABD′

A′B′C

Bentuk SOP minimum

F = BCD + AC′D′ + A′B′D + ABD′ + A′B′C

L = 15

Jawapan

L = 15

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

B′D, B′C′, A′D′, A′B′

Implikan perdana penting

B′D, A′D′

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 23⁻¹ mod 68 = 3

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·23 (mod 68).

r = 68, t = 0

r = 23, q = 2, t = 1

r = 22, q = 1, t = −2

r = 1, q = 22, t = 3

Songsangan

1 ≡ 3·23 (mod 68)

x = 3

semakan: 23·3 = 69 = 1·68 + 1

Jawapan

23⁻¹ mod 68 = 3

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(8, 12) = 4

2x ≡ 1 (mod 3)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

2⁻¹ ≡ 2 (mod 3) → x ≡ 2 (mod 3)

Penyelesaian modulo 12

x ∈ {2, 5, 8, 11}

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 39 = 2(L + 10) − 2

L = 21

Jawapan

L = 21

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: sisi DF

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. BC (1)

2. AB (3)

3. BD (6)

4. BE (10)

5. DF (20)

PMTUD bergantung pada mesej ICMP untuk mengetahui MTU yang lebih kecil. Jika ia digugurkan, paket besar hilang secara senyap, mewujudkan sambungan "lubang hitam".

Jawapan

C · Penemuan MTU laluan gagal kerana mesej "pemecahan diperlukan" disekat

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁹ − 2 = 510 < 745

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 745 → h = 10

Panjang awalan

p = 32 − 10 = 22

Jawapan

p = /22

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 56

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊61/8⌋·8 = 56

siaran: 56 + 8 − 1 = 63

hos boleh guna: 57 … 62

Jawapan

x = 56

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals