Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1100 1010 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1100 10108 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 256 × 256 piksel dengan 32 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ¬(c ∨ ¬c) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

¬(c ∨ ¬c)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis p ∨ q; ¬p ∨ r diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

p ∨ q¬p ∨ r

1p ∨ r
2q ∧ r
3q ∨ r
4¬q

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = A′B′ + A′BC′ + AB′C kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = A′B′ + A′BC′ + AB′C

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 10, 12) + d(5, 6, 8), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 10, 12) + d(5, 6, 8)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 59 modulo 90: nombor x dengan 0 < x < 90 dan 59·x ≡ 1 (mod 90).

a = 59n = 90

59⁻¹ mod 90 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Berapa banyak penyelesaian N yang ada pada 18x ≡ 8 (mod 46) dalam {0, 1, …, 45}?

18x ≡ 8 (mod 46)

N =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Mengapakah pengaturcaraan dinamik tidak memberikan pecutan sebenar untuk isihan cantum?

ASubmasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula
BIsihan cantum sudah O(n)
CIsihan cantum tidak mempunyai struktur rekursif
DPengaturcaraan dinamik hanya berfungsi pada masalah graf, bukan pada tatasusunan

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos masa dan ruang mengira nombor Fibonacci ke-n dengan gelung yang hanya menyimpan dua nilai terakhir?

AMasa O(log n) dan ruang O(n)
BMasa O(n) dan ruang O(1)
CMasa O(n) dan ruang O(n)
DMasa O(2ⁿ) dan ruang O(1)

11.Struktur dataSederhana

Trie (pokok awalan) amat cekap untuk:

AMengisih nombor
BMenyimpan matriks
CMencari laluan terpendek
DCarian awalan seperti autolengkap

12.Struktur dataSukar

Bagi setiap elemen tatasusunan anda mahu elemen lebih besar seterusnya di sebelah kanannya, dalam jumlah masa O(n). Struktur manakah yang membantu?

AJadual cincang semua elemen
BBaris gilir yang menyimpan setiap pasangan elemen
CTindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
DPokok carian binari yang dibina semula bagi setiap elemen

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 12

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Algoritma Prim membina pokok rentang minimum bermula dari bucu A. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 2.

mula: Ak = 2

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pandangan (view) dalam SQL ialah:

AJenis indeks
BPertanyaan tersimpan yang berfungsi seperti jadual maya
CSalinan jadual pada cakera
DSkrin dalam klien pangkalan data untuk menyemak imbas jadual

16.Pangkalan data & SQLSukar

Subpertanyaan berkorelasi ialah subpertanyaan yang:

AHanya menggunakan fungsi agregat
BDijalankan sekali sahaja sebelum pertanyaan luar dan menyimpan hasilnya dalam cache untuk setiap baris
CMerujuk lajur pertanyaan luar dan dinilai bagi setiap baris luar
DMencantumkan dua jadual dengan kunci asing

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah peranan get laluan lalai (default gateway) pada hos?

AIa port suis tempat hos disambungkan
BIa pelayan DNS
CIa menetapkan alamat MAC
DIa penghala yang digunakan untuk trafik ke rangkaian lain

18.Rangkaian komputerSukar

Dalam sambungan TCP, apakah yang dikawal oleh tetingkap penerimaan (rwnd)?

ABerapa banyak data tanpa pengakuan yang boleh dihantar oleh penghantar, berdasarkan penimbal penerima
BSaiz setiap pengepala paket IP
CBilangan port yang terbuka
DMasa tamat penghantaran semula, yang dikira daripada masa perjalanan pergi balik yang diukur bagi setiap segmen

19.Subnet IPv4Sederhana

Satu subnet menggunakan topeng 255.255.252.0. Berapakah bilangan alamat hos H yang boleh digunakan?

255.255.252.0

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.26.102/27. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.26.102/27

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −54

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 8 + 2 = −54

Jawapan

N = −54

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 256 KiB

Bit dan bait

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

Tukar kepada KiB

262144/1024 = 256 KiB

Jawapan

M = 256 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: percanggahan

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

c = 1: ¬c = 0, c ∨ ¬c = 1, ¬(c ∨ ¬c) = 0

c = 0: ¬c = 1, c ∨ ¬c = 1, ¬(c ∨ ¬c) = 0

Kelaskan

¬(c ∨ ¬c): 0, 0

0 dalam setiap baris: percanggahan.

Jawapan

percanggahan

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: q ∨ r

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, q ∧ r = 1, q ∨ r = 1, ¬q = 0

p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, q ∧ r = 0, q ∨ r = 1, ¬q = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, q ∧ r = 1, q ∨ r = 1, ¬q = 0

p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ r = 0, q ∧ r = 0, q ∨ r = 1, ¬q = 0

Kesimpulan

q ∨ r (resolusi)

Jawapan

q ∨ r

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 4

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

A′B′ → m(0, 1)

A′BC′ → m(2)

AB′C → m(5)

Kumpulkan dan baca

F = B′C + A′C′

Kira literal

L = 4

Jawapan

L = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

BC′D′, A′C′D, AC′D′, A′BD′, AB′D′, A′BC′

Implikan perdana penting

A′C′D, AB′D′

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 59⁻¹ mod 90 = 29

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·59 (mod 90).

r = 90, t = 0

r = 59, q = 1, t = 1

r = 31, q = 1, t = −1

r = 28, q = 1, t = 2

r = 3, q = 9, t = −3

r = 1, q = 3, t = 29

Songsangan

1 ≡ 29·59 (mod 90)

x = 29

semakan: 59·29 = 1711 = 19·90 + 1

Jawapan

59⁻¹ mod 90 = 29

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: N = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(18, 46) = 2

9x ≡ 4 (mod 23)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

9⁻¹ ≡ 18 (mod 23) → x ≡ 3 (mod 23)

Penyelesaian modulo 46

x ∈ {3, 26}

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Bucu ganjil

Litar Euler

Jawapan

Litar Euler

14.Teori graf

Jawapan: sisi BC

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Prim

1. AC (5)

2. BC (6)

3. BD (3)

4. BE (11)

Penerima mengumumkan berapa banyak ruang penimbal yang dimilikinya; penghantar mengehadkan data tanpa pengakuan dengan sewajarnya, menghalang penerima daripada terlebih beban.

Jawapan

A · Berapa banyak data tanpa pengakuan yang boleh dihantar oleh penghantar, berdasarkan penimbal penerima

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Panjang awalan

255.255.252.0 = /22

Hos boleh guna

2¹⁰ − 2 = 1022

Jawapan

H = 1022

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 96

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊102/32⌋·32 = 96

siaran: 96 + 32 − 1 = 127

hos boleh guna: 97 … 126

Jawapan

x = 96

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals