Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −40 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −408 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1010 0100 << 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1010 0100<< 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ((a → b) ∧ ¬b) → ¬a tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

((a → b) ∧ ¬b) → ¬a

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
3∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
4∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 7). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 7)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Jam 12 kHz memacu pembilang mod-10. Cari frekuensi f_out output paling bererti, yang melengkapkan satu kitar bagi setiap kitaran pengiraan.

f_clk = 12 kHzN = 10

f_out = kHz

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Selesaikan 67x ≡ 75 (mod 76). Beri penyelesaian x dengan 0 < x < 76.

67x ≡ 75 (mod 76)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 11 dan q = 47 serta eksponen awam e = 17. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 47e = 17

d =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma manakah yang mencari laluan terpendek dari satu sumber dalam graf dengan pemberat sisi tidak negatif?

AAlgoritma Dijkstra
BCarian pertama dalam
CAlgoritma Kruskal
DBellman–Ford diperlukan dalam semua kes

10.Algoritma & kerumitanSukar

Untuk varian galas manakah peraturan tamak "ambil item mengikut susunan nilai bagi setiap berat" sentiasa memberikan jawapan optimum?

AGalas 0/1, yang itemnya mesti sentiasa diambil keseluruhan
BKedua-dua varian
CGalas pecahan, yang itemnya boleh dipecahkan
DTiada satu pun varian

11.Struktur dataSederhana

Struktur data manakah yang digunakan oleh program yang sedang berjalan untuk menjejaki panggilan fungsi aktif dan pemboleh ubah setempatnya?

AJadual cincang fungsi
BTindanan panggilan (call stack)
CPokok carian binari bagi bingkai
DBaris gilir memori timbunan

12.Struktur dataSukar

Pokok Fenwick (pokok berindeks binari) ke atas tatasusunan n nombor menyokong operasi manakah dalam O(log n)?

AMenyisip elemen pada sebarang kedudukan
BMencari median dalam O(1)
CMengisih tatasusunan dan carian binari
DPertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₆? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₆

H =

14.Teori grafSukar

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 6; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 6

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pertanyaan manakah yang memulangkan bilangan bandar berbeza dalam jadual customers?

ASELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
BSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
CSELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
DSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers

16.Pangkalan data & SQLSukar

Penguncian dua fasa (2PL) memastikan:

ABahawa tiada kunci diperlukan
BJadual yang boleh disiri secara konflik
CBahawa kebuntuan (deadlock) tidak pernah berlaku
DBahawa transaksi tidak pernah menunggu

17.Rangkaian komputerSederhana

Berapakah bilangan alamat hos yang boleh digunakan dalam rangkaian IPv4 /24?

A254
B255
C256
D252

18.Rangkaian komputerSukar

Apakah yang dilakukan oleh penghantaran semula pantas (fast retransmit) TCP?

AMenghantar semula segmen selepas tiga ACK pendua, tanpa menunggu masa tamat
BMelangkau jabat tangan tiga hala apabila menyambung semula ke hos yang dikenali, supaya data dihantar semula lebih awal
CMenghantar semula setiap segmen dua kali untuk keselamatan
DMenggandakan tetingkap selepas setiap kehilangan

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 172.26.0.0/16 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /18. Berapakah bilangan subnet N?

172.26.0.0/16/18

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.68.248/25. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.68.248/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 216

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

40 = 0010 1000

disongsangkan: 1101 0111

+1 → 1101 1000

Baca sebagai tanpa tanda

1101 1000₂ = 256 − 40 = 216

Jawapan

U = 216

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 144

Bit demi bit

Anjak ke kiri sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kiri; bit yang jatuh dari hujung kiri hilang dan sifar masuk di sebelah kanan.

1010 0100 << 2

= 1001 0000

Nilai hasil

1001 0000₂ = 144

Jawapan

R = 144

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: tautologi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

a = 1, b = 1: a → b = 1, ¬b = 0, (a → b) ∧ ¬b = 0, ¬a = 0, ((a → b) ∧ ¬b) → ¬a = 1

a = 1, b = 0: a → b = 0, ¬b = 1, (a → b) ∧ ¬b = 0, ¬a = 0, ((a → b) ∧ ¬b) → ¬a = 1

a = 0, b = 1: a → b = 1, ¬b = 0, (a → b) ∧ ¬b = 0, ¬a = 1, ((a → b) ∧ ¬b) → ¬a = 1

a = 0, b = 0: a → b = 1, ¬b = 1, (a → b) ∧ ¬b = 1, ¬a = 1, ((a → b) ∧ ¬b) → ¬a = 1

Kelaskan

((a → b) ∧ ¬b) → ¬a: 1, 1, 1, 1

1 dalam setiap baris: tautologi.

Jawapan

tautologi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Jawapan

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 9

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

A′CD′

A′B′D′

A′BD

Bentuk SOP minimum

F = A′CD′ + A′B′D′ + A′BD

L = 9

Jawapan

L = 9

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: f_out = 1.2 kHz

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Pembahagian frekuensi

f_out = 12 kHz / 10 = 1.2 kHz

Jawapan

f_out = 1.2 kHz

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 17

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Songsangan 67

r = 76, t = 0

r = 67, q = 1, t = 1

r = 9, q = 7, t = −1

r = 4, q = 2, t = 8

r = 1, q = 4, t = −17

67⁻¹ ≡ 59 (mod 76)

Selesaikan

x ≡ 59·75 = 4425 ≡ 17 (mod 76)

semakan: 67·17 = 1139 ≡ 75 (mod 76)

Jawapan

x = 17

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 433

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 11·47 = 517

φ(n) = 10·46 = 460

Algoritma Euclid lanjutan

r = 460, t = 0

r = 17, q = 27, t = 1

r = 1, q = 17, t = −27

Eksponen persendirian

d = 433

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60

14.Teori graf

Jawapan: F

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): B: 11, C: 2

2. C (2): B: 8, E: 16

3. B (8): G: 11

4. G (11)

5. E (16): D: 26, F: 23

6. F (23)

Tiga ACK pendua sangat mencadangkan satu segmen hilang, maka TCP menghantar semulanya serta-merta. Ini pulih jauh lebih pantas daripada menunggu pemasa penghantaran semula.

Jawapan

A · Menghantar semula segmen selepas tiga ACK pendua, tanpa menunggu masa tamat

19.Subnet IPv4

Jawapan: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Bit yang dipinjam

18 − 16 = 2

Bilangan subnet

N = 2² = 4

Jawapan

N = 4

Setiap subnet /18 mempunyai 2¹⁴ − 2 = 16382 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 255

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊248/128⌋·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

hos boleh guna: 129 … 254

Jawapan

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals